Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
P=raizu^2+v^2+w^2, u=x e^y, v=y e^x, w=e^x y;
partial Ppartial x, partial Ppartial y, quando x=0, y=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. O enunciado nos dá uma função que depende de , e , que por sua vez dependem de e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e quando e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia e algumas fórmulas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
P = raizu^2 + v^2 + w^2, u = x e^y, v = y e^x, w = e^x y
Observamos que e são iguais ( ), então na verdade temos duas funções distintas: e .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada parcial de partial Ppartial x = 12(u^2 + v^2 + w^2)^-1/2 cdot (2u partial upartial x + 2v partial vpartial x + 2w partial wpartial x) em relação a partial Ppartial x = u partial upartial x + v partial vpartial x + w partial wpartial xraizu^2 + v^2 + w^2 , ou seja, .
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de partial upartial x = e^y (porque u = x e^y) , partial vpartial x = y e^x (porque v = y e^x) e partial wpartial x = y e^x (porque w = e^x y) em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão de partial Ppartial x = u e^y + v cdot y e^x + w cdot y e^xraizu^2 + v^2 + w^2 :
partial Ppartial x = u e^y + 2v cdot y e^xraizu^2 + 2v^2
Lembrando que , então podemos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial Ppartial y = u partial upartial y + v partial vpartial y + w partial wpartial yraizu^2 + v^2 + w^2 . Usamos novamente a Regra da Cadeia:

Passo 7

Encontramos as derivadas parciais de partial upartial y = x e^y (porque u = x e^y) , partial vpartial y = e^x (porque v = y e^x) e partial wpartial y = e^x (porque w = e^x y) em relação a :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão de partial Ppartial y = u cdot x e^y + v e^x + w e^xraizu^2 + v^2 + w^2 :
partial Ppartial y = u x e^y + 2v e^xraizu^2 + 2v^2
Novamente, como , fica:

Passo 9

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto u = 0 cdot e^2 = 0 e v = 2 e^0 = 2 .
Primeiro, calculamos w = e^0 cdot 2 = 2 , , e :
Então,

Passo 10

Agora, substituímos partial Ppartial x = 0 cdot e^2 + 2 cdot 2 cdot 12raiz2 = 0 + 42raiz2 = 42raiz2 = 2raiz2 = raiz2 , , , , , e , na expressão de :

Passo 11

Da mesma forma, substituímos na expressão de partial Ppartial y = 0 cdot 0 cdot e^2 + 2 cdot 12raiz2 = 0 + 22raiz2 = 22raiz2 = 1raiz2 = raiz22 :

Resposta

As derivadas parciais calculadas são:
partial Ppartial x = raiz2 e partial Ppartial y = raiz22

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