Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
;
, quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que envolve a Regra da Cadeia para encontrar derivadas parciais. O enunciado nos dá uma função
que depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
e
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
quando
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e algumas fórmulas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções que temos:
Observamos que
e
são iguais (
), então na verdade temos duas funções distintas:
e
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Lembrando que
, então podemos simplificar:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Usamos novamente a Regra da Cadeia:
Passo 7
Encontramos as derivadas parciais de
,
e
em relação a
:
Passo 8
Substituindo essas derivadas na expressão de
:
Novamente, como
, fica:
Passo 9
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
e
.
Primeiro, calculamos
,
, e
:
Então,
Passo 10
Agora, substituímos
,
,
,
,
, e
,
na expressão de
:
Passo 11
Da mesma forma, substituímos na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais calculadas são: