Sejam
e
duas funções contínuas em
e
constante. Prove que:
(d)
é contínua em
se
(d)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para provar que, se as funções
e
são contínuas em um ponto
e
, então a função
também é contínua em
. Aqui, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e propriedades dos limites para chegar à prova.
Passo 2
Primeiro, lembramos o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Ou seja:
Passo 3
Como
e
são contínuas em
, podemos escrever:
Passo 4
Queremos provar que
é contínua em
. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Aqui usamos a propriedade dos limites que permite a divisão de limites, desde que o denominador não seja zero. Como
, está tudo certo!
Passo 5
Agora, sabemos que:
Isso mostra que o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função
em
.
Resposta
Portanto,
é contínua em
porque satisfaz a condição de continuidade: