Sejam f e g duas funções contínuas em a pertence a Dom(f) interseccao Dom(g) e k pertence aos reais constante. Prove que:
(d) f/g é contínua em a se g(a) != 0

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que, se as funções e são contínuas em um ponto e , então a função também é contínua em . Aqui, vamos usar os conceitos de continuidade de funções e propriedades dos limites para chegar à prova.

Passo 2

Primeiro, lembramos o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de é igual a . Ou seja:

Passo 3

Como e são contínuas em , podemos escrever:

Passo 4

Queremos provar que é contínua em . Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de :
Aqui usamos a propriedade dos limites que permite a divisão de limites, desde que o denominador não seja zero. Como , está tudo certo!

Passo 5

Agora, sabemos que:
Isso mostra que o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Resposta

Portanto, é contínua em porque satisfaz a condição de continuidade:

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