Seja g(x)=xx^2+1.
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de g.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a função g(x)=xx^2+1. O que precisamos fazer aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar algumas características dela, como o comportamento nos extremos (se a função tende a algum valor quando x vai pra mais infinito ou menos infinito), os zeros da função (onde a função cruza o eixo x) e também os pontos de interseção com o eixo y.

Passo 2

Para encontrar os zeros da função, precisamos resolver a equação g(x) = 0. A função g(x) é igual a zero quando o numerador é zero, ou seja:
x = 0
Portanto, a função cruza o eixo x no ponto (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos verificar onde a função cruza o eixo y. Isso acontece quando x = 0. Portanto, colocando x = 0 na função:
g(0) = 00^2 + 1 = 01 = 0
Assim, a interseção com o eixo y também é em (0, 0).

Passo 4

Agora, precisamos ver o comportamento da função quando x tende a infinito e menos infinito. Vamos calcular o limite da função:
  1. Quando x to +infty:
limx to +infty g(x) = limx to +infty xx^2+1 = limx to +infty 1x = 0
  1. Quando x to -infty:
limx to -infty g(x) = limx to -infty xx^2+1 = limx to -infty 1x = 0
Ou seja, a função se aproxima de 0 tanto para +infty quanto para -infty.

Passo 5

Agora, vamos fazer uma análise de como a função se comporta entre os pontos que encontramos. Sabemos que quando x = 0, g(x) é 0 e que ela tende a zero quando se aproxima de mais e menos infinito. Além disso, como a função é contínua (não tem buracos ou saltos), podemos imaginar que ela deve subir até o ponto em que cruza o eixo x e depois descer.

Resposta

Assim, o esboço do gráfico da função g(x)=xx^2+1 passa pela origem (0, 0), sobe até um ponto máximo (que você pode encontrar fazendo uma derivada, mas não vamos entrar nisso agora) e depois desce, aproximando-se de 0 conforme x tende a pminfty. O gráfico tem simetria em relação à origem, já que g(-x) = -g(x).

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