Seja
.
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de
.
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a função
. O que precisamos fazer aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar algumas características dela, como o comportamento nos extremos (se a função tende a algum valor quando
vai pra mais infinito ou menos infinito), os zeros da função (onde a função cruza o eixo
) e também os pontos de interseção com o eixo
.
Passo 2
Para encontrar os zeros da função, precisamos resolver a equação
. A função
é igual a zero quando o numerador é zero, ou seja:
Portanto, a função cruza o eixo
no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos verificar onde a função cruza o eixo
. Isso acontece quando
. Portanto, colocando
na função:
Assim, a interseção com o eixo
também é em
.
Passo 4
Agora, precisamos ver o comportamento da função quando
tende a infinito e menos infinito. Vamos calcular o limite da função:
- Quando
:
- Quando
:
Ou seja, a função se aproxima de
tanto para
quanto para
.
Passo 5
Agora, vamos fazer uma análise de como a função se comporta entre os pontos que encontramos. Sabemos que quando
,
é
e que ela tende a zero quando se aproxima de mais e menos infinito. Além disso, como a função é contínua (não tem buracos ou saltos), podemos imaginar que ela deve subir até o ponto em que cruza o eixo
e depois descer.
Resposta
Assim, o esboço do gráfico da função
passa pela origem
, sobe até um ponto máximo (que você pode encontrar fazendo uma derivada, mas não vamos entrar nisso agora) e depois desce, aproximando-se de
conforme
tende a
. O gráfico tem simetria em relação à origem, já que
.
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b)
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