Seja .
d) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos a função . O que precisamos fazer aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos analisar algumas características dela, como o comportamento nos extremos (se a função tende a algum valor quando vai pra mais infinito ou menos infinito), os zeros da função (onde a função cruza o eixo ) e também os pontos de interseção com o eixo .

Passo 2

Para encontrar os zeros da função, precisamos resolver a equação . A função é igual a zero quando o numerador é zero, ou seja:
Portanto, a função cruza o eixo no ponto .

Passo 3

Agora, vamos verificar onde a função cruza o eixo . Isso acontece quando . Portanto, colocando na função:
Assim, a interseção com o eixo também é em .

Passo 4

Agora, precisamos ver o comportamento da função quando tende a infinito e menos infinito. Vamos calcular o limite da função:
  1. Quando :
  1. Quando :
Ou seja, a função se aproxima de tanto para quanto para .

Passo 5

Agora, vamos fazer uma análise de como a função se comporta entre os pontos que encontramos. Sabemos que quando , é e que ela tende a zero quando se aproxima de mais e menos infinito. Além disso, como a função é contínua (não tem buracos ou saltos), podemos imaginar que ela deve subir até o ponto em que cruza o eixo e depois descer.

Resposta

Assim, o esboço do gráfico da função passa pela origem , sobe até um ponto máximo (que você pode encontrar fazendo uma derivada, mas não vamos entrar nisso agora) e depois desce, aproximando-se de conforme tende a . O gráfico tem simetria em relação à origem, já que .

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