Seja . Prove ou refute que existe um campo vetorial , com as seguintes propriedades:
  • tem derivadas parciais contínuas para todo ;
  • , para todo ;
  • .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial definido por:
Queremos descobrir se existe um campo vetorial que satisfaça três condições:
  1. As componentes , , de têm derivadas parciais contínuas para todo .
  2. O rotacional de é zero em todo .
  3. .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e rotacional. Vamos passo a passo para ver se conseguimos ou não construir esse campo .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um rotacional igual a zero. Um campo vetorial com é chamado de campo conservativo. Isso significa que existe uma função escalar tal que .
Mas antes de mais nada, precisamos verificar se o campo é conservativo no plano . Se não for, já sabemos que não poderemos estender para um campo conservativo em 3D que satisfaça as condições dadas.

Passo 3

Para verificar se é conservativo no plano , vamos calcular o rotacional de nesse plano. No caso de campos em 2D, o rotacional simplifica para:
Onde .
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos :
Agora, :
Então,
Isso mostra que o rotacional de é zero no plano , sugerindo que é conservativo nesse plano.

Passo 4

Mesmo com o rotacional zero, precisamos verificar se o domínio onde está definido é simplesmente conexo. Isso é importante porque, em domínios simplesmente conexos, campos com rotacional zero são conservativos.
O domínio de é , ou seja, todo o plano menos a origem. Esse domínio não é simplesmente conexo, pois há um “buraco” na origem. Isso significa que mesmo com o rotacional zero, pode não ser conservativo globalmente.

Passo 5

Para finalizar, vamos tentar encontrar uma função potencial tal que . Se conseguirmos, então existe um campo que satisfaz todas as condições. Caso contrário, não existe.
Vamos integrar em relação a :
Fazendo uma substituição, deixamos , então . No entanto, ao tentar integrar, percebemos que não conseguimos obter uma função que seja contínua em todo o domínio .
Isso indica que não é conservativo no domínio dado, mesmo com o rotacional zero.

Resposta

Não existe um campo vetorial que satisfaça todas as condições estabelecidas no problema.

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