Seja
. Prove ou refute que existe um campo vetorial
, com as seguintes propriedades:
-
tem derivadas parciais contínuas para todo
;
-
, para todo
;
-
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
definido por:
Queremos descobrir se existe um campo vetorial
que satisfaça três condições:
- As componentes
, , de têm derivadas parciais contínuas para todo . - O rotacional de
é zero em todo . -
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e rotacional. Vamos passo a passo para ver se conseguimos ou não construir esse campo
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter um rotacional igual a zero. Um campo vetorial com
é chamado de campo conservativo. Isso significa que existe uma função escalar
tal que
.
Mas antes de mais nada, precisamos verificar se o campo
é conservativo no plano
. Se não for, já sabemos que não poderemos estender
para um campo
conservativo em 3D que satisfaça as condições dadas.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo no plano
, vamos calcular o rotacional de
nesse plano. No caso de campos em 2D, o rotacional simplifica para:
Onde
.
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Primeiro, calculamos
:
Agora,
:
Então,
Isso mostra que o rotacional de
é zero no plano
, sugerindo que
é conservativo nesse plano.
Passo 4
Mesmo com o rotacional zero, precisamos verificar se o domínio onde
está definido é simplesmente conexo. Isso é importante porque, em domínios simplesmente conexos, campos com rotacional zero são conservativos.
O domínio de
é
, ou seja, todo o plano menos a origem. Esse domínio não é simplesmente conexo, pois há um “buraco” na origem. Isso significa que mesmo com o rotacional zero,
pode não ser conservativo globalmente.
Passo 5
Para finalizar, vamos tentar encontrar uma função potencial
tal que
. Se conseguirmos, então existe um campo
que satisfaz todas as condições. Caso contrário, não existe.
Vamos integrar
em relação a
:
Fazendo uma substituição, deixamos
, então
. No entanto, ao tentar integrar, percebemos que não conseguimos obter uma função
que seja contínua em todo o domínio
.
Isso indica que
não é conservativo no domínio dado, mesmo com o rotacional zero.
Resposta
Não existe um campo vetorial
que satisfaça todas as condições estabelecidas no problema.
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.