Sejam
funçōes duas vezes continuamente diferenciáveis que são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Prove que, na bola unitária
, tem-se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, dentro da bola unitária
, para duas funções
e
que são duas vezes continuamente diferenciáveis e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem, temos:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais múltiplas e equações diferenciais parciais envolvendo o operador laplaciano
. Vamos precisar usar a integração por partes no contexto de múltiplas variáveis e propriedades das funções constantes ao longo de certas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que as funções
e
são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Isso quer dizer que
e
dependem apenas da distância ao ponto de origem, ou seja, são funções radiais. Podemos escrever:
onde
.
Passo 3
Sabendo que
e
são funções radiais, vamos calcular o laplaciano dessas funções. O operador laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de
é dado por:
onde
pode ser
ou
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a integração por partes para múltiplas variáveis. Em cálculo, a integração por partes para múltiplas integrais pode ser relacionada com o teorema da divergência. No nosso caso, queremos relacionar
e
.
Usando a identidade de integração por partes, temos:
Passo 5
Os termos de contorno surgem do teorema da divergência e envolvem integrais sobre a superfície da bola unitária
. Porém, como
e
são constantes ao longo das linhas que passam pela origem e estamos integrando sobre uma bola fechada, esses termos de contorno se cancelam ou se anulam.
Portanto, temos que:
Resposta
Entao, provamos que dentro da bola unitária
, vale:
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Seja
uma curva orientada no sentido anti-horário que é a fronteira da regiāo
. Prove que a área de
é dada por
Calcule a derivada da seguinte função:
Seja
. Prove ou refute que existe um campo vetorial
, com as seguintes propriedades:
-
tem derivadas parciais contínuas para todo ; -
, para todo ; -
.
Calcule a derivada da seguinte função: