Sejam f, g: R^3 R funçōes duas vezes continuamente diferenciáveis que são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Prove que, na bola unitária B=(x, y, z) mid x^2+y^2+z^2 <= 1, tem-se
integral triplaB f nabla^2 g d V=integral triplaB g nabla^2 f d V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, dentro da bola unitária integral triplaB f nabla^2 g dV = integral triplaB g nabla^2 f dV , para duas funções e que são duas vezes continuamente diferenciáveis e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem, temos:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais múltiplas e equações diferenciais parciais envolvendo o operador laplaciano . Vamos precisar usar a integração por partes no contexto de múltiplas variáveis e propriedades das funções constantes ao longo de certas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as funções f(x, y, z) = f(r) e g(x, y, z) = g(r) e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Isso quer dizer que e dependem apenas da distância ao ponto de origem, ou seja, são funções radiais. Podemos escrever:
onde .

Passo 3

Sabendo que nabla^2 h = 1r^2 ddr ( r^2 dhdr ) e são funções radiais, vamos calcular o laplaciano dessas funções. O operador laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de é dado por:
onde pode ser ou .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a integração por partes para múltiplas variáveis. Em cálculo, a integração por partes para múltiplas integrais pode ser relacionada com o teorema da divergência. No nosso caso, queremos relacionar integral triplaB f nabla^2 g dV = integral triplaB g nabla^2 f dV + Termos de contorno e .
Usando a identidade de integração por partes, temos:

Passo 5

Os termos de contorno surgem do teorema da divergência e envolvem integrais sobre a superfície da bola unitária integral triplaB f nabla^2 g dV = integral triplaB g nabla^2 f dV . Porém, como e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem e estamos integrando sobre uma bola fechada, esses termos de contorno se cancelam ou se anulam.
Portanto, temos que:

Resposta

Entao, provamos que dentro da bola unitária integral triplaB f nabla^2 g dV = integral triplaB g nabla^2 f dV , vale:

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