Sejam funçōes duas vezes continuamente diferenciáveis que são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Prove que, na bola unitária , tem-se

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que, dentro da bola unitária , para duas funções e que são duas vezes continuamente diferenciáveis e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem, temos:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com integrais múltiplas e equações diferenciais parciais envolvendo o operador laplaciano . Vamos precisar usar a integração por partes no contexto de múltiplas variáveis e propriedades das funções constantes ao longo de certas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que as funções e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem. Isso quer dizer que e dependem apenas da distância ao ponto de origem, ou seja, são funções radiais. Podemos escrever:
onde .

Passo 3

Sabendo que e são funções radiais, vamos calcular o laplaciano dessas funções. O operador laplaciano em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas de é dado por:
onde pode ser ou .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a integração por partes para múltiplas variáveis. Em cálculo, a integração por partes para múltiplas integrais pode ser relacionada com o teorema da divergência. No nosso caso, queremos relacionar e .
Usando a identidade de integração por partes, temos:

Passo 5

Os termos de contorno surgem do teorema da divergência e envolvem integrais sobre a superfície da bola unitária . Porém, como e são constantes ao longo das linhas que passam pela origem e estamos integrando sobre uma bola fechada, esses termos de contorno se cancelam ou se anulam.
Portanto, temos que:

Resposta

Entao, provamos que dentro da bola unitária , vale:

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Seja uma curva orientada no sentido anti-horário que é a fronteira da regiāo . Prove que a área de é dada por
Calcule a derivada da seguinte função:
Seja . Prove ou refute que existe um campo vetorial , com as seguintes propriedades:
  • tem derivadas parciais contínuas para todo ;
  • , para todo ;
  • .
Calcule a derivada da seguinte função: