Seja gamma=partial D(0,1). Obter os valores de integral0^2 pi cos ^2 n+1 t d t e integral0^2 pi sen^2 n+1 t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as integrais de cos^2n+1 t e sin^2n+1 t de 0 a 2pi. Vamos usar conceitos de cálculo integral e simetria trigonométrica para resolver isso. Precisaremos entender como certas funções se comportam no intervalo completo de uma volta, que é de 0 a 2pi.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na função cos^2n+1 t. Note que o expoente é ímpar, já que 2n+1 sempre dá um número ímpar. Funções com expoentes ímpares têm uma propriedade de simetria ímpar, ou seja, cos^2n+1(-t) = -cos^2n+1 t.

Passo 3

Agora, vamos analisar o intervalo de integração de 0 a 2pi. Como a função é ímpar e estamos integrando sobre um intervalo simétrico em torno de zero (considerando que 0 a 2pi completa o ciclo trigonométrico), a integral de uma função ímpar sobre esse intervalo é zero. Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 4

Aplicando o mesmo raciocínio para a função sin^2n+1 t, percebemos que ela também tem um expoente ímpar. Assim como a função cosseno, a função seno com expoente ímpar também é ímpar e, portanto, sua integral sobre 0 a 2pi também será zero devido à simetria.

Resposta

Ambas as integrais são iguais a zero:
integral0^2 pi cos^2n+1 t , dt = 0 e integral0^2 pi sin^2n+1 t , dt = 0

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