Seja
, onde
, com
. Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por
,
e
assumindo os seguintes valores:
e 4 . O segundo conjunto é dado por
e
assumindo os seguintes valores:
e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Para que valores de
temos
e
?
Para que valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar funções quadráticas da forma
. As funções quadráticas são importantes porque seus gráficos são parábolas, que podem abrir para cima ou para baixo dependendo do coeficiente
. A gente vai precisar entender como os valores de
,
e
influenciam o comportamento da parábola para determinar onde
é maior ou menor que zero. Vamos dividir o exercício em dois conjuntos de parábolas e analisar cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro conjunto de parábolas onde
,
e
assume os valores
,
e
. Então, temos três funções:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 3
Para determinar onde
e
, precisamos encontrar as raízes da equação
, ou seja, resolver
. As raízes são dadas pela fórmula de Bhaskara:
O discriminante
nos ajuda a saber quantas raízes reais existem:
- Se
, a parábola corta o eixo em dois pontos distintos. - Se
, a parábola toca o eixo em um único ponto. - Se
, a parábola não corta o eixo .
Passo 4
Vamos aplicar isso ao primeiro conjunto.
Função
Calcular o discriminante:
Como
, temos duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Então, as raízes são:
Como
, a parábola abre para cima. Portanto,
quando
ou
, e
entre as raízes, ou seja,
.
Função
Calcular o discriminante:
Como
, temos uma raiz real dupla.
Calculando a raiz:
A parábola toca o eixo
no ponto
e, como
, ela estará acima do eixo para todos os outros valores de
.
Então,
para todo
e
quando
.
Função
Calcular o discriminante:
Como
, não há raízes reais. A parábola, que abre para cima (
), está sempre acima do eixo
.
Portanto,
para todo
.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo conjunto de parábolas onde
,
e
assume os valores
,
e
. Assim, temos três funções:
Vamos analisar cada uma.
Passo 6
Função
Aqui,
, então a parábola abre para baixo.
Calcular o discriminante:
Sem raízes reais e a parábola abre para baixo, isso significa que
está sempre abaixo do eixo
.
Portanto,
para todo
.
Função
Aqui,
, então a parábola abre para cima.
Calcular o discriminante:
Duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Então, as raízes são
e
.
Como a parábola abre para cima,
fora do intervalo das raízes, ou seja,
ou
, e
entre as raízes,
.
Função
Aqui,
, então a parábola abre para cima.
Calcular o discriminante:
Duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Assim, as raízes são
e
.
Como a parábola abre para cima,
fora do intervalo das raízes, ou seja,
ou
, e
entre as raízes,
.
Resposta
Para o primeiro conjunto:
-
quando ou -
quando -
para todo -
quando -
para todo
Para o segundo conjunto:
-
para todo -
quando ou -
quando -
quando ou -
quando
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo
, esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.
Seja
a função de
em
definida por
. Calcule:
Calcule
sabendo que
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função
, onde a variável
é dada em anos e
e
são constantes.
Encontre as constantes e
de modo que a população inicial
seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
Encontre as constantes