Seja , onde , com . Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por , e assumindo os seguintes valores: e 4 . O segundo conjunto é dado por e assumindo os seguintes valores: e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Para que valores de temos e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar funções quadráticas da forma . As funções quadráticas são importantes porque seus gráficos são parábolas, que podem abrir para cima ou para baixo dependendo do coeficiente . A gente vai precisar entender como os valores de , e influenciam o comportamento da parábola para determinar onde é maior ou menor que zero. Vamos dividir o exercício em dois conjuntos de parábolas e analisar cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro conjunto de parábolas onde , e assume os valores , e . Então, temos três funções:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 3

Para determinar onde e , precisamos encontrar as raízes da equação , ou seja, resolver . As raízes são dadas pela fórmula de Bhaskara:
O discriminante nos ajuda a saber quantas raízes reais existem:
  • Se , a parábola corta o eixo em dois pontos distintos.
  • Se , a parábola toca o eixo em um único ponto.
  • Se , a parábola não corta o eixo .

Passo 4

Vamos aplicar isso ao primeiro conjunto.

Função

Calcular o discriminante:
Como , temos duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Então, as raízes são:
Como , a parábola abre para cima. Portanto, quando ou , e entre as raízes, ou seja, .

Função

Calcular o discriminante:
Como , temos uma raiz real dupla.
Calculando a raiz:
A parábola toca o eixo no ponto e, como , ela estará acima do eixo para todos os outros valores de .
Então, para todo e quando .

Função

Calcular o discriminante:
Como , não há raízes reais. A parábola, que abre para cima ( ), está sempre acima do eixo .
Portanto, para todo .

Passo 5

Agora, vamos para o segundo conjunto de parábolas onde , e assume os valores , e . Assim, temos três funções:
Vamos analisar cada uma.

Passo 6

Função

Aqui, , então a parábola abre para baixo.
Calcular o discriminante:
Sem raízes reais e a parábola abre para baixo, isso significa que está sempre abaixo do eixo .
Portanto, para todo .

Função

Aqui, , então a parábola abre para cima.
Calcular o discriminante:
Duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Então, as raízes são e .
Como a parábola abre para cima, fora do intervalo das raízes, ou seja, ou , e entre as raízes, .

Função

Aqui, , então a parábola abre para cima.
Calcular o discriminante:
Duas raízes reais.
Calculando as raízes:
Assim, as raízes são e .
Como a parábola abre para cima, fora do intervalo das raízes, ou seja, ou , e entre as raízes, .

Resposta

Para o primeiro conjunto:
  1. quando ou
  2. quando
  3. para todo
  4. quando
  5. para todo
Para o segundo conjunto:
  1. para todo
  2. quando ou
  3. quando
  4. quando ou
  5. quando

Exercícios relacionados

Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo , esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.
Seja a função de em definida por . Calcule:
Calcule sabendo que
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função , onde a variável é dada em anos e e são constantes.
Encontre as constantes e de modo que a população inicial seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.