Seja , onde , com . Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por , e assumindo os seguintes valores: e 4 . O segundo conjunto é dado por e assumindo os seguintes valores: e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
O valor de pode influenciar o número de raízes reais de ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções quadráticas da forma . Nosso objetivo é descobrir se o valor de pode influenciar o número de raízes reais dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as parábolas se comportam e como encontrar as raízes de uma equação quadrática usando o discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as raízes de uma função quadrática são os valores de que fazem . Para encontrar essas raízes, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:

Passo 3

O que está dentro da raiz quadrada, , é chamado de discriminante e é representado pela letra :
O discriminante é a chave para determinar o número de raízes reais da equação:
  • Se : há duas raízes reais e distintas.
  • Se : há duas raízes reais iguais (ou seja, uma raiz real dupla).
  • Se : não há raízes reais, apenas raízes complexas.

Passo 4

Agora, vamos ver como o valor de influencia isso. Observe que está no denominador da fórmula de Bhaskara e também na parte do discriminante ( ). Isso significa que afeta diretamente o valor de .
Se aumentarmos o valor absoluto de (seja positivo ou negativo), o termo também mudará de valor, influenciando o discriminante:
  • Maior |a|: Pode aumentar ou diminuir , dependendo dos outros coeficientes e .
  • Sinal de a: Afeta a direção da parábola (para cima se ou para baixo se ), mas o número de raízes reais está mais diretamente ligado a .

Passo 5

Por exemplo, se considerarmos diferentes valores de mantendo e fixos, o valor de pode variar, o que muda o número de raízes reais:
  • Se aumentar: O termo diminui se for positivo, o que pode diminuir .
  • Se diminuir: O termo aumenta se for positivo, o que pode aumentar .
Assim, alterando , podemos fazer passar de positivo para negativo ou vice-versa, mudando o número de raízes reais.

Resposta

Sim, o valor de pode influenciar o número de raízes reais da função , pois ele afeta o discriminante . Alterando , mudamos o valor de , o que pode fazer a equação ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.

Exercícios relacionados

Qual a função afim que passa pelos pontos:
e ?
Sejam e .
Dê um exemplo de uma função de em que seja sobrejetiva mas não injetiva.
Resolva as equações abaixo
Se , encontre o valor de .