Seja
, onde
, com
. Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por
,
e
assumindo os seguintes valores:
e 4 . O segundo conjunto é dado por
e
assumindo os seguintes valores:
e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
O valor de
pode influenciar o número de raízes reais de
? Justifique.
O valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções quadráticas da forma
. Nosso objetivo é descobrir se o valor de
pode influenciar o número de raízes reais dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as parábolas se comportam e como encontrar as raízes de uma equação quadrática usando o discriminante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as raízes de uma função quadrática
são os valores de
que fazem
. Para encontrar essas raízes, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
Passo 3
O que está dentro da raiz quadrada,
, é chamado de discriminante e é representado pela letra
:
O discriminante é a chave para determinar o número de raízes reais da equação:
- Se
: há duas raízes reais e distintas. - Se
: há duas raízes reais iguais (ou seja, uma raiz real dupla). - Se
: não há raízes reais, apenas raízes complexas.
Passo 4
Agora, vamos ver como o valor de
influencia isso. Observe que
está no denominador da fórmula de Bhaskara e também na parte do discriminante (
). Isso significa que
afeta diretamente o valor de
.
Se aumentarmos o valor absoluto de
(seja positivo ou negativo), o termo
também mudará de valor, influenciando o discriminante:
- Maior |a|: Pode aumentar ou diminuir
, dependendo dos outros coeficientes e . - Sinal de a: Afeta a direção da parábola (para cima se
ou para baixo se ), mas o número de raízes reais está mais diretamente ligado a .
Passo 5
Por exemplo, se considerarmos diferentes valores de
mantendo
e
fixos, o valor de
pode variar, o que muda o número de raízes reais:
- Se
aumentar: O termo diminui se for positivo, o que pode diminuir . - Se
diminuir: O termo aumenta se for positivo, o que pode aumentar .
Assim, alterando
, podemos fazer
passar de positivo para negativo ou vice-versa, mudando o número de raízes reais.
Resposta
Sim, o valor de
pode influenciar o número de raízes reais da função
, pois ele afeta o discriminante
. Alterando
, mudamos o valor de
, o que pode fazer a equação ter duas raízes reais distintas, uma raiz real dupla ou nenhuma raiz real.
Exercícios relacionados
Qual a função afim que passa pelos pontos:
e
?
Sejam
e
.
Dê um exemplo de uma função de em
que seja sobrejetiva mas não injetiva.
Dê um exemplo de uma função de
Resolva as equações abaixo
Se
, encontre o valor de
.