Seja , onde , com . Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por , e assumindo os seguintes valores: e 4 . O segundo conjunto é dado por e assumindo os seguintes valores: e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Faça o esboço das três parábolas do primeiro conjunto em um mesmo plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática dada por , onde , e são números reais e . O gráfico dessa função é uma parábola. A tarefa aqui é desenhar, no mesmo gráfico, três parábolas que pertencem ao primeiro conjunto. Nesse conjunto, os valores são fixos e , enquanto pode ser -3, 1 e 4. Para isso, vamos precisar entender como cada parâmetro afeta a forma e posição da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma função quadrática :
  • O coeficiente determina a “abertura” da parábola. Se , a parábola abre para cima; se , abre para baixo.
  • O coeficiente afeta a inclinação da parábola, basicamente onde ela está centrada na horizontal.
  • O coeficiente é o termo constante e representa o ponto onde a parábola intersecta o eixo vertical (y).
Como no primeiro conjunto e são fixos, o que muda é o valor de . Vamos ver como cada valor de influencia o gráfico.

Passo 3

Vamos calcular as funções para cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 4

Agora, vamos identificar alguns pontos chave de cada parábola, como o vértice e o ponto de interseção com o eixo y ( ).
Para encontrar o vértice de uma parábola , usamos as fórmulas:
Vamos calcular isso para cada função.

Passo 5

  1. Para :
    Então, o vértice é .
  2. Para :
    Vértice: .
  3. Para :
    Vértice: .

Passo 6

Além do vértice, vamos identificar o ponto onde cada parábola cruza o eixo y, que ocorre quando :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 7

Agora que temos os vértices e os pontos de interseção com o eixo y, podemos esboçar as três parábolas no mesmo gráfico:
  1. Parábola com :
    • Vértice:
    • Ponto no eixo y:
    • Abre para cima.
  2. Parábola com :
    • Vértice:
    • Ponto no eixo y:
    • Abre para cima.
  3. Parábola com :
    • Vértice:
    • Ponto no eixo y:
    • Abre para cima.

Resposta

As três parábolas do primeiro conjunto, todas abrindo para cima, com vértices em , e , e pontos de interseção no eixo y em , e respectivamente, foram esboçadas no mesmo plano cartesiano conforme solicitado.

Exercícios relacionados

Seja , em que . Esta é uma função polinomial de grau 1 (ou afim se e linear caso ). Seu gráfico é uma reta. Pede-se:
Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo (eixo das ordenadas)? Há alguma relação com o valor adotado por ? Por que isto ocorre? Como o valor é chamado? Mantendo fixo e variando o valor de o que ocorre com as retas resultantes? Como o valor é chamado?
Se é tal que e , calcule o valor de .
Faça o gráfico das funções abaixo
Faça o que se pede:
Quanto vale ?