Seja
, onde
, com
. Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por
,
e
assumindo os seguintes valores:
e 4 . O segundo conjunto é dado por
e
assumindo os seguintes valores:
e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Faça o esboço das três parábolas do primeiro conjunto em um mesmo plano cartesiano.
Faça o esboço das três parábolas do primeiro conjunto em um mesmo plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função quadrática dada por
, onde
,
e
são números reais e
. O gráfico dessa função é uma parábola. A tarefa aqui é desenhar, no mesmo gráfico, três parábolas que pertencem ao primeiro conjunto. Nesse conjunto, os valores são fixos
e
, enquanto
pode ser -3, 1 e 4. Para isso, vamos precisar entender como cada parâmetro afeta a forma e posição da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma função quadrática
:
- O coeficiente
determina a “abertura” da parábola. Se , a parábola abre para cima; se , abre para baixo. - O coeficiente
afeta a inclinação da parábola, basicamente onde ela está centrada na horizontal. - O coeficiente
é o termo constante e representa o ponto onde a parábola intersecta o eixo vertical (y).
Como no primeiro conjunto
e
são fixos, o que muda é o valor de
. Vamos ver como cada valor de
influencia o gráfico.
Passo 3
Vamos calcular as funções para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, vamos identificar alguns pontos chave de cada parábola, como o vértice e o ponto de interseção com o eixo y (
).
Para encontrar o vértice de uma parábola
, usamos as fórmulas:
Vamos calcular isso para cada função.
Passo 5
-
Para
: Então, o vértice é. -
Para
: Vértice:. -
Para
: Vértice:.
Passo 6
Além do vértice, vamos identificar o ponto onde cada parábola cruza o eixo y, que ocorre quando
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Agora que temos os vértices e os pontos de interseção com o eixo y, podemos esboçar as três parábolas no mesmo gráfico:
-
Parábola com
: - Vértice:
- Ponto no eixo y:
- Abre para cima.
- Vértice:
-
Parábola com
: - Vértice:
- Ponto no eixo y:
- Abre para cima.
- Vértice:
-
Parábola com
: - Vértice:
- Ponto no eixo y:
- Abre para cima.
- Vértice:
Resposta
As três parábolas do primeiro conjunto, todas abrindo para cima, com vértices em
,
e
, e pontos de interseção no eixo y em
,
e
respectivamente, foram esboçadas no mesmo plano cartesiano conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Seja
, em que
. Esta é uma função polinomial de grau 1 (ou afim se
e linear caso
). Seu gráfico é uma reta. Pede-se:
Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo (eixo das ordenadas)? Há alguma relação com o valor adotado por
? Por que isto ocorre? Como o valor
é chamado? Mantendo
fixo e variando o valor de
o que ocorre com as retas resultantes? Como o valor
é chamado?
Onde as retas obtidas acima interceptam o eixo
Se
é tal que
e
, calcule o valor de
.
Faça o gráfico das funções abaixo
Faça o que se pede:
Quanto vale ?
Quanto vale