Seja , onde , com . Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por , e assumindo os seguintes valores: e 4 . O segundo conjunto é dado por e assumindo os seguintes valores: e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Faça o esboço das três parábolas do segundo conjunto em um mesmo plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática , que gera parábolas no gráfico. O exercício pede para a gente desenhar três dessas parábolas no mesmo plano cartesiano, usando o segundo conjunto de valores: , , e valendo , e . Para isso, vamos precisar entender como os coeficientes , e influenciam o formato e a posição da parábola no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das três parábolas do segundo conjunto usando os valores dados:
  1. Quando :
    Simplificando:
  2. Quando :
    Simplificando:
  3. Quando :
    Simplificando:
Então, as três parábolas que vamos desenhar são:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas parábolas para entender como desenhá-las no gráfico.
1. Parábola :
  • Coeficiente : Como é negativo, a parábola abre para baixo.
  • Coeficiente : Não há termo linear, então o eixo de simetria é .
  • Coeficiente : Este é o termo constante, que nos dá o ponto onde a parábola corta o eixo . Aqui, o ponto é .
2. Parábola :
  • Coeficiente : Como é positivo, a parábola abre para cima.
  • Coeficiente : Eixo de simetria é .
  • Coeficiente : Corta o eixo no ponto .
3. Parábola :
  • Coeficiente : positivo, a parábola abre para cima.
  • Coeficiente : Eixo de simetria é .
  • Coeficiente : Corta o eixo no ponto .

Passo 4

Vamos determinar o vértice de cada parábola, que é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola é:
Como em todas as nossas parábolas , simplificando:
Então, todas as três parábolas têm o vértice no ponto .

Passo 5

Agora, vamos resumir as características de cada parábola para facilitar o esboço:
  1. :
    • Abre para baixo.
    • Vértice em .
    • Simetria em .
  2. :
    • Abre para cima.
    • Vértice em .
    • Simetria em .
  3. :
    • Abre para cima.
    • Vértice em .
    • Simetria em .
    • A parábola é mais “estreita” que por causa do coeficiente maior.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar as três parábolas no mesmo plano cartesiano:
  • Desenhe o eixo (horizontal) e o eixo (vertical).
  • Marque o ponto , que é o vértice de todas as parábolas.
  • Para , desenhe uma parábola que abre para baixo a partir do vértice.
  • Para , desenhe uma parábola que abre para cima a partir do vértice.
  • Para , desenhe outra parábola que abre para cima, mas mais estreita que .

Resposta

As três parábolas do segundo conjunto estão esboçadas no mesmo plano cartesiano, todas com vértice em . A parábola abre para baixo, enquanto e abrem para cima, sendo mais estreita que .

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Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo , esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.
Faça o gráfico das funções abaixo
Resolva as inequações abaixo
.