Seja
, onde
, com
. Esta é uma função polinomial de grau 2 (ou quadrática). Seu gráfico determina uma parábola. O objetivo dessa questão é traçar no mesmo plano cartesiano dois conjuntos de três parábolas. O primeiro conjunto é dado por
,
e
assumindo os seguintes valores:
e 4 . O segundo conjunto é dado por
e
assumindo os seguintes valores:
e 2 . Para cada um dos conjuntos descritos, faça o que se pede:
Faça o esboço das três parábolas do segundo conjunto em um mesmo plano cartesiano.
Faça o esboço das três parábolas do segundo conjunto em um mesmo plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática
, que gera parábolas no gráfico. O exercício pede para a gente desenhar três dessas parábolas no mesmo plano cartesiano, usando o segundo conjunto de valores:
,
, e
valendo
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como os coeficientes
,
e
influenciam o formato e a posição da parábola no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das três parábolas do segundo conjunto usando os valores dados:
-
Quando
: Simplificando: -
Quando
: Simplificando: -
Quando
: Simplificando:
Então, as três parábolas que vamos desenhar são:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas parábolas para entender como desenhá-las no gráfico.
1. Parábola
:
- Coeficiente
: Como é negativo, a parábola abre para baixo. - Coeficiente
: Não há termo linear, então o eixo de simetria é . - Coeficiente
: Este é o termo constante, que nos dá o ponto onde a parábola corta o eixo . Aqui, o ponto é .
2. Parábola
:
- Coeficiente
: Como é positivo, a parábola abre para cima. - Coeficiente
: Eixo de simetria é . - Coeficiente
: Corta o eixo no ponto .
3. Parábola
:
- Coeficiente
: positivo, a parábola abre para cima. - Coeficiente
: Eixo de simetria é . - Coeficiente
: Corta o eixo no ponto .
Passo 4
Vamos determinar o vértice de cada parábola, que é o ponto mais alto ou mais baixo da parábola.
A fórmula para encontrar o vértice de uma parábola
é:
Como em todas as nossas parábolas
, simplificando:
Então, todas as três parábolas têm o vértice no ponto
.
Passo 5
Agora, vamos resumir as características de cada parábola para facilitar o esboço:
-
: - Abre para baixo.
- Vértice em
. - Simetria em
.
-
: - Abre para cima.
- Vértice em
. - Simetria em
.
-
: - Abre para cima.
- Vértice em
. - Simetria em
. - A parábola
é mais “estreita” que por causa do coeficiente maior.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar as três parábolas no mesmo plano cartesiano:
- Desenhe o eixo
(horizontal) e o eixo (vertical). - Marque o ponto
, que é o vértice de todas as parábolas. - Para
, desenhe uma parábola que abre para baixo a partir do vértice. - Para
, desenhe uma parábola que abre para cima a partir do vértice. - Para
, desenhe outra parábola que abre para cima, mas mais estreita que .
Resposta
As três parábolas do segundo conjunto estão esboçadas no mesmo plano cartesiano, todas com vértice em
. A parábola
abre para baixo, enquanto
e
abrem para cima, sendo
mais estreita que
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções quadráticas a seguir, encontre as raízes, determine o vértice e esboce o gráfico
Para cada uma das funções a seguir, encontre as raízes, os interceptos no eixo
, esboce o gráfico e explicite os intervalos de crescimento e decrescimento.
Faça o gráfico das funções abaixo
Resolva as inequações abaixo
.