Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Neste exercício, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos definir corretamente os limites de integração para , e .

Passo 2

Vamos escolher o sistema de coordenadas cilíndricas, pois a região de integração possui simetria circular, o que simplifica os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é .
Além disso, a função na integral se torna .

Passo 3

Definimos os limites de integração:
  • varia de (plano ) até (paraboloide).
  • varia de até (pois implica ).
  • varia de a (pois ).

Passo 4

Substituímos na integral:
Simplificando o integrando:

Passo 5

Resolvemos a integral em relação a :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é igual a , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Seja a porção da bola que se situa acima do plano (hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido . (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)
Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Seja a porção da bola , limitada acima pelo cone e abaixo pelo plano , representada pela parte mais escura da figura
Escreva (sem calcular) o volume da região como uma integral tripla em coordenadas esféricas.