Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Neste exercício, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos definir corretamente os limites de integração para , e .
Passo 2
Vamos escolher o sistema de coordenadas cilíndricas, pois a região de integração possui simetria circular, o que simplifica os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é .
Além disso, a função na integral se torna .
Passo 3
Definimos os limites de integração:
varia de (plano ) até (paraboloide).
varia de até (pois implica ).
varia de a (pois ).
Passo 4
Substituímos na integral:
Simplificando o integrando:
Passo 5
Resolvemos a integral em relação a :
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em relação a I = 6415 integral0^pi sin theta , dtheta = 6415 [-cos theta]0^pi = 6415 [ -(-1) + 1 ] = 6415 times 2 = 12815 :