Seja I=integral triplaS y d V em que S é a região sólida do semiespaço y >= 0 delimitada acima pelo paraboloide z=4-x^2-y^2 e abaixo pelo plano x y.
Calcule I usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Neste exercício, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos definir corretamente os limites de integração para , e .

Passo 2

Vamos escolher o sistema de coordenadas cilíndricas, pois a região de integração possui simetria circular, o que simplifica os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas:
O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é .
Além disso, a função na integral se torna .

Passo 3

Definimos os limites de integração:
  • varia de (plano ) até (paraboloide).
  • varia de até (pois implica ).
  • varia de a (pois ).

Passo 4

Substituímos na integral:
I = integral0^pi integral0^2 integral0^4 - r^2 (r sin theta) cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando o integrando:
I = integral0^pi integral0^2 r^2 sin theta cdot (4 - r^2) , dr , dtheta

Passo 5

Resolvemos a integral em relação a integral0^2 (4r^2 - r^4) , dr = 4 ( r^33 ) g|0^2 - ( r^55 ) g|0^2 = 323 - 325 = 160 - 9615 = 6415 :

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a I = 6415 integral0^pi sin theta , dtheta = 6415 [-cos theta]0^pi = 6415 [ -(-1) + 1 ] = 6415 times 2 = 12815 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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