Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é igual a , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a massa de uma região G, que é uma parte de uma bola com raio 2 (já que ), situada no primeiro octante. Essa região é limitada pelos planos coordenados , , pelo plano e pela própria esfera. A matéria envolvida aqui está na aplicação de cálculo integral, especificamente as integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas e estabelecer os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três parâmetros: (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
A densidade dada no problema é constante, então ela pode ser colocada fora da integral.

Passo 3

Agora, precisamos estabelecer os limites de integração para , e . Sabemos que a esfera tem raio 2, então varia de 0 a 2:
Para o ângulo polar , ele varia de 0 a , já que estamos no primeiro octante onde :
Já para o ângulo azimutal , ele vai de 0 a , pois o plano corresponde a :

Passo 4

A massa de uma região em coordenadas esféricas é dada pela integral tripla da densidade multiplicada pelo elemento de volume em coordenadas esféricas, que é . Como a densidade é constante ( ), podemos escrever:

Resposta

Exercícios relacionados

Seja a porção da bola que se situa acima do plano (hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido . (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)
Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Seja em que é a região sólida do semiespaço delimitada acima pelo paraboloide e abaixo pelo plano .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Calcule o valor numérico do volume do sólido .