Seja
a porção da bola
que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados
, pelo plano
e pela esfera
.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
, sabendo-se que a sua densidade é igual a
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a massa de uma região G, que é uma parte de uma bola com raio 2 (já que
), situada no primeiro octante. Essa região é limitada pelos planos coordenados
,
, pelo plano
e pela própria esfera. A matéria envolvida aqui está na aplicação de cálculo integral, especificamente as integrais triplas em coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para esféricas e estabelecer os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(raio),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal). As relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas são:
A densidade
dada no problema é constante, então ela pode ser colocada fora da integral.
Passo 3
Agora, precisamos estabelecer os limites de integração para
,
e
. Sabemos que a esfera tem raio 2, então
varia de 0 a 2:
Para o ângulo polar
, ele varia de 0 a
, já que estamos no primeiro octante onde
:
Já para o ângulo azimutal
, ele vai de 0 a
, pois o plano
corresponde a
:
Passo 4
A massa
de uma região em coordenadas esféricas é dada pela integral tripla da densidade multiplicada pelo elemento de volume em coordenadas esféricas, que é
. Como a densidade é constante (
), podemos escrever:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
(hemisfério superior da bola). Calcule o centroide do sólido
. (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do Exercício 10.)
Seja
a porção da bola
que se situa acima do cone
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Calcule
Seja
a porção da bola
que se situa acima do cone
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Calcule o valor numérico do volume do sólido