Sejam e bases de : Calcule

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases do espaço tridimensional :
  • Base
  • Base
O que precisamos calcular é a matriz de mudança de base de para , representada por . Basicamente, essa matriz vai nos dizer como expressar os vetores da base na base . Para isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir a matriz de transição entre essas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de mudança de base , precisamos encontrar como cada vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, para cada vetor de , queremos encontrar scalars tais que:
onde são os vetores da base .

Passo 3

Vamos fazer isso para cada vetor de .
Primeiro vetor de :
Queremos encontrar tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira equação:
=> .
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Portanto, .

Passo 5

Segundo vetor de :
Encontramos tais que:
Sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Substituindo na segunda equação:
=> .
Portanto, .
Assim, .

Passo 7

Terceiro vetor de :
Encontramos tais que:
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: .
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Substituindo na segunda equação:
=> .
Portanto, .
Assim, .

Passo 9

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz de mudança de base de para é:

Exercícios relacionados

Encontre um vetor com mesma direção e sentiḑo contrário do vetor e módulo igual a 6 .
Seja , onde . Determine a base .
Encontre um vetor unitário na mesma direção do vetor .
Sejam e . Determine o produto escalar de e .