Sejam A=(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) e B=(1,0,0),(0,1,0),(0,2,1) bases de R^3 : Calcule [I]B^A

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases do espaço tridimensional :
  • Base
  • Base
O que precisamos calcular é a matriz de mudança de base de para , representada por . Basicamente, essa matriz vai nos dizer como expressar os vetores da base na base . Para isso, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e como construir a matriz de transição entre essas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz de mudança de base bi = ci1 a1 + ci2 a2 + ci3 a3 , precisamos encontrar como cada vetor da base pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base .
Ou seja, para cada vetor de , queremos encontrar scalars tais que:
onde são os vetores da base .

Passo 3

Vamos fazer isso para cada vetor de (1,0,0) = c11(1,0,1) + c12(0,1,1) + c13(1,1,1) .
Primeiro vetor de c11 + c13 = 1 c12 + c13 = 0 c11 + c12 + c13 = 0 :
Queremos encontrar tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (1 - c13) + (-c13) + c13 = 0 1 - c13 = 0 c13 = 1 .
Substituindo na primeira equação:
c11 = 1 - 1 = 0 c12 = -1 => .
Substituindo e na terceira equação:
Então:
Portanto, .

Passo 5

Segundo vetor de (0,1,0) = c21(1,0,1) + c22(0,1,1) + c23(1,1,1) : c21 + c23 = 0 c22 + c23 = 1 c21 + c22 + c23 = 0
Encontramos tais que:
Sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (-c23) + c22 + c23 = c22 = 0 .
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Substituindo na segunda equação:
=> .
Portanto, .
Assim, .

Passo 7

Terceiro vetor de (0,2,1) = c31(1,0,1) + c32(0,1,1) + c33(1,1,1) : c31 + c33 = 0 c32 + c33 = 2 c31 + c32 + c33 = 1
Encontramos tais que:
Sistema de equações:

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (-c33) + c32 + c33 = c32 = 1 .
Substituindo na terceira equação:
Então, .
Substituindo na segunda equação:
=> .
Portanto, .
Assim, .

Passo 9

Agora que temos as coordenadas de cada vetor de [I]B^A = 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 na base , podemos montar a matriz de mudança de base . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas de um vetor de na base .
Então, temos:

Resposta

A matriz de mudança de base de [I]B^A = 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 para é:

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