Seja A in R^4 times 4 matriz cujos autovalores distintos são lambda=1 e lambda=-1.
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de dimensão que possui dois autovalores distintos: e . O objetivo é escrever todas as possíveis formas do polinômio característico dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender como os autovalores e suas multiplicidades influenciam o polinômio característico.

Passo 2

O polinômio característico de uma matriz é dado por , onde é a matriz identidade. Como é uma matriz , o polinômio característico terá grau 4, ou seja, será da forma .

Passo 3

Sabemos que os autovalores da matriz são as raízes do polinômio característico. Temos dois autovalores distintos: e . Como o polinômio é de grau 4, a soma das multiplicidades dos autovalores deve ser igual a 4.

Passo 4

Vamos considerar as diferentes multiplicidades que os autovalores podem ter:
  1. p(lambda) = (lambda - 1)^3 (lambda + 1) com multiplicidade 3 e p(lambda) = (lambda - 1) (lambda + 1)^3 com multiplicidade 1:
    p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2
  2. com multiplicidade 1 e com multiplicidade 3:
  3. com multiplicidade 2 e com multiplicidade 2:

Resposta

As possíveis formas para o polinômio característico de p(lambda) = (lambda - 1)^3 (lambda + 1), p(lambda) = (lambda - 1) (lambda + 1)^3, p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2 são:

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