Seja
matriz cujos autovalores distintos são
e
.
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma matriz
de dimensão
que possui dois autovalores distintos:
e
. O objetivo é escrever todas as possíveis formas do polinômio característico dessa matriz. Para isso, vamos precisar entender como os autovalores e suas multiplicidades influenciam o polinômio característico.
Passo 2
O polinômio característico de uma matriz
é dado por
, onde
é a matriz identidade. Como
é uma matriz
, o polinômio característico terá grau 4, ou seja, será da forma
.
Passo 3
Sabemos que os autovalores da matriz são as raízes do polinômio característico. Temos dois autovalores distintos:
e
. Como o polinômio é de grau 4, a soma das multiplicidades dos autovalores deve ser igual a 4.
Passo 4
Vamos considerar as diferentes multiplicidades que os autovalores podem ter:
-
com multiplicidade 3 e com multiplicidade 1: -
com multiplicidade 1 e com multiplicidade 3: -
com multiplicidade 2 e com multiplicidade 2:
Resposta
As possíveis formas para o polinômio característico de
são:
Exercícios relacionados
Seja
munido com o produto interno
onde
. Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
Sejam
um espaço euclidiano e
um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
(a) Que condições
seja um produto interno sobre