Sejam V=R^2 e u=(x1, x2), v=(y1, y2) in V. Verifique se
f(u, v)=x1 y1 x2 y2
é um produto interno sobre V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa verificar se a função é um produto interno no espaço . Para isso, vamos lembrar das propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno. Essas propriedades são: simetria, linearidade e definido positivo. Vamos verificar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso significa que a função deve satisfazer f(u, v) = x1 y1 x2 y2 para todos os vetores f(v, u) = y1 x1 y2 x2 e x1 y1 x2 y2 = y1 x1 y2 x2 em .
Calculando :
E calculando :
Observamos que:
Então, . A função é simétrica!

Passo 3

Agora, vamos conferir a linearidade. Isso envolve duas partes: a função deve ser aditiva e homogênea em relação ao primeiro argumento.
Adição: Vamos ver se f(u + v, w) = (x1 + y1) z1 (x2 + y2) z2 = (x1 z1 + y1 z1)(x2 z2 + y2 z2) .
Seja = x1 z1 x2 z2 + x1 z1 y2 z2 + y1 z1 x2 z2 + y1 z1 y2 z2 , f(u, w) + f(v, w) = x1 z1 x2 z2 + y1 z1 y2 z2 e f(u + v, w) neq f(u, w) + f(v, w) .
Calculando :
Expandindo:
Por outro lado:
Percebemos que:
Portanto, a função não é aditiva.
Como a aditividade já não foi satisfeita, não precisamos verificar a homogeneidade. A linearidade não está completa.

Passo 4

Mesmo já sabendo que a função não é linear, vamos dar uma olhada na propriedade de definido positivo para completar.
Para verificar se f(u, u) = x1 x1 x2 x2 = x1^2 x2^2 é definido positivo, precisamos que para todo .
Calculando :
Note que é sempre não negativo, mas pode ser zero mesmo quando . Por exemplo, se e , então .
Logo, não é definido positivo.

Resposta

A função não é um produto interno sobre , pois não satisfaz as propriedades de aditividade e definido positivo necessárias para um produto interno.

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