Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa verificar se a função
é um produto interno no espaço
. Para isso, vamos lembrar das propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno. Essas propriedades são: simetria, linearidade e definido positivo. Vamos verificar cada uma delas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso significa que a função deve satisfazer
para todos os vetores
e
em
.
Calculando
:
E calculando
:
Observamos que:
Então,
. A função é simétrica!
Passo 3
Agora, vamos conferir a linearidade. Isso envolve duas partes: a função deve ser aditiva e homogênea em relação ao primeiro argumento.
Adição: Vamos ver se
.
Seja
,
e
.
Calculando
:
Expandindo:
Por outro lado:
Percebemos que:
Portanto, a função não é aditiva.
Como a aditividade já não foi satisfeita, não precisamos verificar a homogeneidade. A linearidade não está completa.
Passo 4
Mesmo já sabendo que a função não é linear, vamos dar uma olhada na propriedade de definido positivo para completar.
Para verificar se
é definido positivo, precisamos que
para todo
.
Calculando
:
Note que
é sempre não negativo, mas pode ser zero mesmo quando
. Por exemplo, se
e
, então
.
Logo,
não é definido positivo.
Resposta
A função
não é um produto interno sobre
, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e definido positivo necessárias para um produto interno.
Exercícios relacionados
Seja
matriz cujos autovalores distintos são
e
.
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.
Seja
munido com o produto interno
onde
. Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Sejam
um espaço euclidiano e
um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
(a) Que condições
seja um produto interno sobre
Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.