Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa verificar se a função é um produto interno no espaço . Para isso, vamos lembrar das propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno. Essas propriedades são: simetria, linearidade e definido positivo. Vamos verificar cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso significa que a função deve satisfazer para todos os vetores e em .
Calculando :
E calculando :
Observamos que:
Então, . A função é simétrica!

Passo 3

Agora, vamos conferir a linearidade. Isso envolve duas partes: a função deve ser aditiva e homogênea em relação ao primeiro argumento.
Adição: Vamos ver se .
Seja , e .
Calculando :
Expandindo:
Por outro lado:
Percebemos que:
Portanto, a função não é aditiva.
Como a aditividade já não foi satisfeita, não precisamos verificar a homogeneidade. A linearidade não está completa.

Passo 4

Mesmo já sabendo que a função não é linear, vamos dar uma olhada na propriedade de definido positivo para completar.
Para verificar se é definido positivo, precisamos que para todo .
Calculando :
Note que é sempre não negativo, mas pode ser zero mesmo quando . Por exemplo, se e , então .
Logo, não é definido positivo.

Resposta

A função não é um produto interno sobre , pois não satisfaz as propriedades de aditividade e definido positivo necessárias para um produto interno.

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Seja matriz cujos autovalores distintos são e .
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Seja munido com o produto interno
onde . Determine uma base ortonormal de a partir da base
Sejam um espaço euclidiano e um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
seja um produto interno sobre
Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .