Seja munido com o produto interno
onde . Determine uma base ortonormal de a partir da base

Passo 1

Então, temos um espaço vetorial com um produto interno definido por
onde e . A base inicial que vamos trabalhar é . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para a partir dessa base inicial. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt adaptado ao produto interno dado.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base , que é . Para torná-lo ortonormal, precisamos normalizá-lo, ou seja, dividir o vetor pelo seu comprimento (norma).
A norma de é calculada usando o produto interno:
Então, o vetor normalizado é:

Passo 3

Agora, vamos pegar o segundo vetor da base , que é . Precisamos torná-lo ortogonal a e depois normalizá-lo.
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Calculando :
E (como já calculamos antes).
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:
Finalmente, normalizamos :
Então, o vetor normalizado é:

Resposta

A base ortonormal de é .

Exercícios relacionados

Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .
Determine as componentes do vetor e esboce-o com seu ponto inicial na origem.
b) e
Seja matriz cujos autovalores distintos são e .
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.
Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .