Seja V=R^2 munido com o produto interno
f(u, v)=2 x1 y1+x1 y2+x2 y1+x2 y2
onde u=(x1, x2), v=(y1, y2) in V. Determine uma base ortonormal de V a partir da base
beta=(-1,1),(1,1)

Passo 1

Então, temos um espaço vetorial f(u, v) = 2 x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 com um produto interno definido por
onde e . A base inicial que vamos trabalhar é . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para a partir dessa base inicial. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt adaptado ao produto interno dado.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base | v1 | = raizf(v1, v1) = raiz2(-1)^2 + (-1)(1) + (1)(-1) + (1)^2 = raiz2 + (-1) + (-1) + 1 = raiz1 = 1 , que é e1 = v1| v1 | = (-1, 1)1 = (-1, 1) . Para torná-lo ortonormal, precisamos normalizá-lo, ou seja, dividir o vetor pelo seu comprimento (norma).
A norma de é calculada usando o produto interno:
Então, o vetor normalizado é:

Passo 3

Agora, vamos pegar o segundo vetor da base proje1 v2 = f(v2, e1)f(e1, e1) e1 , que é f(v2, e1) = 2(1)(-1) + (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = -2 + 1 - 1 + 1 = -1 . Precisamos torná-lo ortogonal a proje1 v2 = -11 cdot (-1, 1) = (1, -1) e depois normalizá-lo.
Primeiro, calculamos a projeção de u2 = v2 - proje1 v2 = (1, 1) - (1, -1) = (0, 2) em | u2 | = raizf(u2, u2) = raiz2(0)^2 + (0)(2) + (2)(0) + (2)^2 = raiz0 + 0 + 0 + 4 = 2 :
e2 = u2| u2 | = (0, 2)2 = (0, 1)
Calculando :
E (como já calculamos antes).
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de para obter o vetor ortogonal:
Finalmente, normalizamos :
Então, o vetor normalizado é:

Resposta

A base ortonormal de é .

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