Seja
munido com o produto interno
onde
. Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Passo 1
Então, temos um espaço vetorial
com um produto interno definido por
onde
e
. A base inicial que vamos trabalhar é
. Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para
a partir dessa base inicial. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt adaptado ao produto interno dado.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base
, que é
. Para torná-lo ortonormal, precisamos normalizá-lo, ou seja, dividir o vetor pelo seu comprimento (norma).
A norma de
é calculada usando o produto interno:
Então, o vetor normalizado
é:
Passo 3
Agora, vamos pegar o segundo vetor da base
, que é
. Precisamos torná-lo ortogonal a
e depois normalizá-lo.
Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Calculando
:
E
(como já calculamos antes).
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter o vetor ortogonal:
Finalmente, normalizamos
:
Então, o vetor normalizado
é:
Resposta
A base ortonormal de
é
.