Sejam um espaço euclidiano e um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
seja um produto interno sobre

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço euclidiano e um operador linear . A função dada é:
Queremos descobrir quais condições o operador precisa satisfazer para que essa função seja um produto interno em . Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as propriedades de um produto interno. Uma função é um produto interno se, para todos os vetores em e todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Linearidade na primeira posição:
  2. Simetria:
  3. Positividade definida:
Vamos verificar quais condições devem ser satisfeitas por para garantir que cumpra essas propriedades.

Passo 3

1. Linearidade na primeira posição:
Como é linear, temos que para quaisquer vetores e escalar :
Então,
Ou seja, é linear na primeira posição devido à linearidade de .
2. Simetria:
Para que seja simétrico, precisamos que:
Isso significa que deve satisfazer:
Isso caracteriza como um operador auto-adjunto (ou simétrico).
3. Positividade definida:
Para a positividade definida, temos que:
Isso significa que deve ser um operador positivo definido.

Passo 4

Resumindo, para que a função seja um produto interno em , o operador linear deve satisfazer duas condições principais:
  1. Ser auto-adjunto (simétrico):
  2. Ser positivo definido:

Resposta

O operador deve ser auto-adjunto (ou simétrico) e positivo definido. Ou seja, precisa satisfazer:
e

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