Sejam V um espaço euclidiano e T: V V um operador linear
(a) Que condições T deve satisfazer para que a função
f(u, v)=lang<= T(u), vrang<=
seja um produto interno sobre V ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço euclidiano f(u, v) = lang<= T(u), v rang<= e um operador linear . A função dada é:
Queremos descobrir quais condições o operador precisa satisfazer para que essa função seja um produto interno em . Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as propriedades de um produto interno. Uma função lang<= cu + v, w rang<= = clang<= u, w rang<= + lang<= v, w rang<= é um produto interno se, para todos os vetores lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<= em lang<= u, u rang<= > 0 se u neq 0 e todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Linearidade na primeira posição:
  2. Simetria:
  3. Positividade definida:
Vamos verificar quais condições devem ser satisfeitas por para garantir que cumpra essas propriedades.

Passo 3

1. Linearidade na primeira posição:
Como T(cu1 + u2) = cT(u1) + T(u2) é linear, temos que para quaisquer vetores f(cu1 + u2, v) = lang<= T(cu1 + u2), v rang<= = lang<= cT(u1) + T(u2), v rang<= = clang<= T(u1), v rang<= + lang<= T(u2), v rang<= e escalar lang<= T(u), v rang<= = lang<= T(v), u rang<= :
lang<= T(u), v rang<= = lang<= u, T(v) rang<=
Então,
lang<= T(u), u rang<= > 0 se u neq 0
Ou seja, é linear na primeira posição devido à linearidade de .
2. Simetria:
Para que seja simétrico, precisamos que:
Isso significa que deve satisfazer:
Isso caracteriza como um operador auto-adjunto (ou simétrico).
3. Positividade definida:
Para a positividade definida, temos que:
Isso significa que deve ser um operador positivo definido.

Passo 4

Resumindo, para que a função lang<= T(u), v rang<= = lang<= u, T(v) rang<= forall u, v in V seja um produto interno em lang<= T(u), u rang<= > 0 para todo u neq 0 , o operador linear deve satisfazer duas condições principais:
  1. Ser auto-adjunto (simétrico):
  2. Ser positivo definido:

Resposta

O operador lang<= T(u), v rang<= = lang<= u, T(v) rang<= para todos u, v in V deve ser auto-adjunto (ou simétrico) e positivo definido. Ou seja, lang<= T(u), u rang<= > 0 para todo u neq 0 precisa satisfazer:
e

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