Sejam
um espaço euclidiano e
um operador linear
(a) Que condições
deve satisfazer para que a função
seja um produto interno sobre
(a) Que condições
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço euclidiano
e um operador linear
. A função dada é:
Queremos descobrir quais condições o operador
precisa satisfazer para que essa função
seja um produto interno em
. Para isso, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as propriedades de um produto interno. Uma função
é um produto interno se, para todos os vetores
em
e todo escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Linearidade na primeira posição:
- Simetria:
- Positividade definida:
Vamos verificar quais condições devem ser satisfeitas por
para garantir que
cumpra essas propriedades.
Passo 3
1. Linearidade na primeira posição:
Como
é linear, temos que para quaisquer vetores
e escalar
:
Então,
Ou seja,
é linear na primeira posição devido à linearidade de
.
2. Simetria:
Para que
seja simétrico, precisamos que:
Isso significa que
deve satisfazer:
Isso caracteriza
como um operador auto-adjunto (ou simétrico).
3. Positividade definida:
Para a positividade definida, temos que:
Isso significa que
deve ser um operador positivo definido.
Passo 4
Resumindo, para que a função
seja um produto interno em
, o operador linear
deve satisfazer duas condições principais:
-
Ser auto-adjunto (simétrico):
-
Ser positivo definido:
Resposta
O operador
deve ser auto-adjunto (ou simétrico) e positivo definido. Ou seja,
precisa satisfazer:
e
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e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
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e
.
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.
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