Sejam V=R^2 e u=(x1, x2), v=(y1, y2) in V. Verifique se
f(u, v)=|y1-x1|+|y2-x2|
é um produto interno sobre V.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício. Temos um espaço vetorial f(u, v) = |y1 - x1| + |y2 - x2| e dois vetores e nesse espaço. A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno sobre . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar revisar essas propriedades e verificar uma por uma se as cumpre.

Passo 2

Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Simetria: f(au + bv, w) = a f(u, w) + b f(v, w) para todos os vetores em .
  2. Linearidade na primeira variável: Para quaisquer escalares e , e para todos os vetores em ,
  3. Positividade: para todo vetor em , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Simetria
Vamos verificar se f(u, v) = |y1 - x1| + |y2 - x2| .
f(v, u) = |x1 - y1| + |x2 - y2|
|y1 - x1| = |x1 - y1| e |y2 - x2| = |x2 - y2|
Como o valor absoluto satisfaz f(u, v) = f(v, u) , temos:
Portanto,
A propriedade da simetria é satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade na primeira variável
Precisamos verificar se para quaisquer escalares f(au + bv, w) = a f(u, w) + b f(v, w) e vetores au + bv = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) , a seguinte igualdade vale:
f((1,1), (1,1)) = |1 - 1| + |1 - 1| = 0 + 0 = 0
Vamos considerar vetores específicos para testar essa propriedade. Por exemplo, seja f(u, w) = |1 - 1| + |0 - 1| = 0 + 1 = 1 , f(v, w) = |0 - 1| + |1 - 1| = 1 + 0 = 1 , a f(u, w) + b f(v, w) = 1 times 1 + 1 times 1 = 2 , e f(au + bv, w) = 0 neq 2 = a f(u, w) + b f(v, w) :
Vemos que:
Isso mostra que a linearidade na primeira variável não é satisfeita pela função .

Passo 5

3. Positividade
Mesmo já tendo identificado que a função não é linear na primeira variável, vamos verificar a propriedade da positividade para completar a análise.
Para qualquer vetor f(u, u) = |x1 - x1| + |x2 - x2| = 0 + 0 = 0 :
De acordo com a positividade, deve ocorrer somente quando . No entanto, vimos que para qualquer vetor , não apenas para . Portanto, a propriedade de positividade não é satisfeita.

Resposta

Não, a função não é um produto interno sobre .

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