Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício. Temos um espaço vetorial e dois vetores e nesse espaço. A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno sobre . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar revisar essas propriedades e verificar uma por uma se as cumpre.
Passo 2
Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer três propriedades principais:
Simetria: para todos os vetores em .
Linearidade na primeira variável: Para quaisquer escalares e , e para todos os vetores em ,
Positividade: para todo vetor em , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
1. Simetria
Vamos verificar se .
Como o valor absoluto satisfaz , temos:
Portanto,
A propriedade da simetria é satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade na primeira variável
Precisamos verificar se para quaisquer escalares e vetores , a seguinte igualdade vale:
Vamos considerar vetores específicos para testar essa propriedade. Por exemplo, seja , , , e :
Vemos que:
Isso mostra que a linearidade na primeira variável não é satisfeita pela função .
Passo 5
3. Positividade
Mesmo já tendo identificado que a função não é linear na primeira variável, vamos verificar a propriedade da positividade para completar a análise.
Para qualquer vetor :
De acordo com a positividade, deve ocorrer somente quando . No entanto, vimos que para qualquer vetor , não apenas para . Portanto, a propriedade de positividade não é satisfeita.