Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício. Temos um espaço vetorial e dois vetores e nesse espaço. A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno sobre . Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar revisar essas propriedades e verificar uma por uma se as cumpre.

Passo 2

Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer três propriedades principais:
  1. Simetria: para todos os vetores em .
  2. Linearidade na primeira variável: Para quaisquer escalares e , e para todos os vetores em ,
  3. Positividade: para todo vetor em , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Simetria
Vamos verificar se .
Como o valor absoluto satisfaz , temos:
Portanto,
A propriedade da simetria é satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade na primeira variável
Precisamos verificar se para quaisquer escalares e vetores , a seguinte igualdade vale:
Vamos considerar vetores específicos para testar essa propriedade. Por exemplo, seja , , , e :
Vemos que:
Isso mostra que a linearidade na primeira variável não é satisfeita pela função .

Passo 5

3. Positividade
Mesmo já tendo identificado que a função não é linear na primeira variável, vamos verificar a propriedade da positividade para completar a análise.
Para qualquer vetor :
De acordo com a positividade, deve ocorrer somente quando . No entanto, vimos que para qualquer vetor , não apenas para . Portanto, a propriedade de positividade não é satisfeita.

Resposta

Não, a função não é um produto interno sobre .

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Determine as componentes do vetor e esboce-o com seu ponto inicial na origem.
b) e
Seja um operador linear invertível com . Mostre que é um polinômio em de grau no máximo .
Seja munido com o produto interno
onde . Determine uma base ortonormal de a partir da base
Seja matriz cujos autovalores distintos são e .
(a) Escreva todas as possibilidades para o polinômio característico de A.