Sejam
e
. Verifique se
é um produto interno sobre
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no exercício. Temos um espaço vetorial
e dois vetores
e
nesse espaço. A função que queremos analisar é:
Nosso objetivo é verificar se essa função
é um produto interno sobre
. Para isso, precisamos entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer. Vamos precisar revisar essas propriedades e verificar uma por uma se
as cumpre.
Passo 2
Primeiro, um produto interno em um espaço vetorial precisa satisfazer três propriedades principais:
-
Simetria:
para todos os vetores em . -
Linearidade na primeira variável: Para quaisquer escalares
e , e para todos os vetores em , -
Positividade:
para todo vetor em , e se e somente se .
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
dada.
Passo 3
1. Simetria
Vamos verificar se
.
Como o valor absoluto satisfaz
, temos:
Portanto,
A propriedade da simetria é satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade na primeira variável
Precisamos verificar se para quaisquer escalares
e vetores
, a seguinte igualdade vale:
Vamos considerar vetores específicos para testar essa propriedade. Por exemplo, seja
,
,
, e
:
Vemos que:
Isso mostra que a linearidade na primeira variável não é satisfeita pela função
.
Passo 5
3. Positividade
Mesmo já tendo identificado que a função não é linear na primeira variável, vamos verificar a propriedade da positividade para completar a análise.
Para qualquer vetor
:
De acordo com a positividade,
deve ocorrer somente quando
. No entanto, vimos que
para qualquer vetor
, não apenas para
. Portanto, a propriedade de positividade não é satisfeita.
Resposta
Não, a função
não é um produto interno sobre
.