Seja f: (-infinito, -2] -> R dada por f(x) = x^2 + x - 2.
Faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para fazer um esboço do gráfico da função , definida para todos os números menores ou iguais a -2. Vamos usar conhecimentos de funções quadráticas para identificar características importantes como vértice, interceptações e direção da parábola, tudo isso explicado de um jeito bem tranquilo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma função quadrática, que tem a forma geral . No nosso caso, , e . Sabendo que , sabemos que a parábola abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada x do vértice é . Substituindo os valores:
Agora, calculamos :
Então, o vértice é .

Passo 4

Vamos achar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo y ocorre quando :
Então, temos o ponto .
Agora, para as interceptações com o eixo x, resolvemos :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são e . Mas como a função está definida apenas para , apenas está no domínio.

Passo 5

Vamos determinar a direção da parábola. Como , a parábola abre para cima. Além disso, como a função é definida para , vamos considerar apenas a parte da parábola que está à esquerda de .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Vértice em
  • Passa por e
  • Abre para cima
  • Dominio: , então o gráfico estará apenas à esquerda de

Resposta

O esboço do gráfico de para é uma parábola que abre para cima, com vértice em , passando pelo ponto e se estendendo para a esquerda.

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