Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
. Resposta:
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa usar o Teorema da Convolução para calcular a transformada de Laplace da convolução das funções
e
. Então, os conteúdos que vamos usar aqui são:
- Transformada de Laplace: uma ferramenta para transformar funções do tempo para o domínio da frequência.
- Teorema da Convolução: que nos ajuda a encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução
é definida pela integral:
No entanto, para simplificar nosso trabalho, vamos usar o Teorema da Convolução que diz que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace das funções individuais. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos identificar nossas funções:
Precisamos encontrar as transformadas de Laplace dessas duas funções separadamente.
Passo 4
Vamos calcular
.
A transformada de Laplace de
é:
Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
.
A transformada de Laplace de
é:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Agora que temos as transformadas de Laplace das duas funções, aplicamos o Teorema da Convolução:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da convolução das funções
e
é:
Exercícios relacionados
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
.
Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através das propriedades estudadas:
;
Use a transformada de Laplace para calcular o valor da integral imprópria
.
Sejam
uma função contínua por partes e
um valor constante. O delta de Dirac ou impulso unitário é uma função
que é definida pela seguinte propriedade:
Encontre a solução do PVI:
.