Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
L{e^(-t) * e^(t) * cos(t)}. Resposta: (s-1)/((s+1)((s-1)^{2}+1));

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa usar o Teorema da Convolução para calcular a transformada de Laplace da convolução das funções e . Então, os conteúdos que vamos usar aqui são:
  • Transformada de Laplace: uma ferramenta para transformar funções do tempo para o domínio da frequência.
  • Teorema da Convolução: que nos ajuda a encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução é definida pela integral:
No entanto, para simplificar nosso trabalho, vamos usar o Teorema da Convolução que diz que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de Laplace das funções individuais. Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos identificar nossas funções:
Precisamos encontrar as transformadas de Laplace dessas duas funções separadamente.

Passo 4

Vamos calcular .
A transformada de Laplace de é:
Aqui, , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular .
A transformada de Laplace de é:
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora que temos as transformadas de Laplace das duas funções, aplicamos o Teorema da Convolução:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da convolução das funções e é:

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