Seja . Encontre uma fórmula para (onde é um inteiro positivo). Você saberia provar a validade de sua fórmula?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a matriz , e precisamos encontrar uma fórmula para , onde é um número inteiro positivo. Essa questão está relacionada ao conceito de matrizes e suas potências na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e identificar um padrão nas potências de .
Passo 2
Vamos começar calculando as primeiras potências de para observar se conseguimos identificar um padrão que nos ajude a generalizar a fórmula para qualquer .
Passo 3
Calculando as potências de :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Observando os resultados acima, percebemos que a matriz elevada à potência tem o elemento na diagonal principal e o número na posição (1,2). Com base nisso, podemos conjecturar que:
Passo 5
Para confirmar que nossa conjectura está correta, vamos provar que essa fórmula funciona para todo utilizando o Princípio da Indução Matemática.
Passo 6
Base da Indução: Para , já vemos que:
Isso coincide com nossa fórmula, já que:
Passo Indutivo: Vamos supor que a fórmula seja válida para algum , ou seja,
Agora, precisamos mostrar que ela também é válida para .
Calculando :
Isso confirma que a fórmula também é válida para .