Seja A=(ll1 & 1 0 & 1). Encontre uma fórmula para A^n (onde n >= 1 é um inteiro positivo). Você saberia provar a validade de sua fórmula?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a matriz 1 & 1 0 & 1, e precisamos encontrar uma fórmula para , onde é um número inteiro positivo. Essa questão está relacionada ao conceito de matrizes e suas potências na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e identificar um padrão nas potências de .

Passo 2

Vamos começar calculando as primeiras potências de para observar se conseguimos identificar um padrão que nos ajude a generalizar a fórmula para qualquer .

Passo 3

Calculando as potências de A^1 = 1 & 1 0 & 1 :
Para A^2 = A cdot A = 1 & 1 0 & 1 cdot 1 & 1 0 & 1 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 1 + 1 cdot 1 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 & 2 0 & 1 :
A^3 = A^2 cdot A = 1 & 2 0 & 1 cdot 1 & 1 0 & 1 = 1 cdot 1 + 2 cdot 0 & 1 cdot 1 + 2 cdot 1 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 & 3 0 & 1
Para :
Para :

Passo 4

Observando os resultados acima, percebemos que a matriz elevada à potência A^n = 1 & n 0 & 1 tem o elemento na diagonal principal e o número na posição (1,2). Com base nisso, podemos conjecturar que:

Passo 5

Para confirmar que nossa conjectura está correta, vamos provar que essa fórmula funciona para todo utilizando o Princípio da Indução Matemática.

Passo 6

Base da Indução: Para A^1 = 1 & 1 0 & 1 , já vemos que:
1 & 1 0 & 1 = 1 & 1 0 & 1
Isso coincide com nossa fórmula, já que:
A^k = 1 & k 0 & 1
Passo Indutivo: Vamos supor que a fórmula seja válida para algum A^k+1 = A^k cdot A = 1 & k 0 & 1 cdot 1 & 1 0 & 1 = 1 cdot 1 + k cdot 0 & 1 cdot 1 + k cdot 1 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 & k+1 0 & 1 , ou seja,
Agora, precisamos mostrar que ela também é válida para .
Calculando :
Isso confirma que a fórmula também é válida para .

Resposta

Portanto, para todo A^n = 1 & n 0 & 1 , a potência de é dada por:

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