Seja
. Encontre uma fórmula para
(onde
é um inteiro positivo). Você saberia provar a validade de sua fórmula?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos a matriz
, e precisamos encontrar uma fórmula para
, onde
é um número inteiro positivo. Essa questão está relacionada ao conceito de matrizes e suas potências na matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e identificar um padrão nas potências de
.
Passo 2
Vamos começar calculando as primeiras potências de
para observar se conseguimos identificar um padrão que nos ajude a generalizar a fórmula para qualquer
.
Passo 3
Calculando as potências de
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Observando os resultados acima, percebemos que a matriz elevada à potência
tem o elemento
na diagonal principal e o número
na posição (1,2). Com base nisso, podemos conjecturar que:
Passo 5
Para confirmar que nossa conjectura está correta, vamos provar que essa fórmula funciona para todo
utilizando o Princípio da Indução Matemática.
Passo 6
Base da Indução: Para
, já vemos que:
Isso coincide com nossa fórmula, já que:
Passo Indutivo: Vamos supor que a fórmula seja válida para algum
, ou seja,
Agora, precisamos mostrar que ela também é válida para
.
Calculando
:
Isso confirma que a fórmula também é válida para
.
Resposta
Portanto, para todo
, a potência de
é dada por: