Seja
M=(cc 0 & -1 1 & 0 )
Encontre todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2, tais que A M=M A.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a matriz
M = 0 & -1 1 & 0
e queremos encontrar todas as matrizes quadradas reais de ordem 2 que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a comutatividade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a matriz A = a & b c & d seja generalemente:
onde são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular o produto A M = a & b c & d 0 & -1 1 & 0 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot (-1) + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot (-1) + d cdot 0 = b & -a d & -c :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto M A = 0 & -1 1 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + (-1) cdot c & 0 cdot b + (-1) cdot d 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d = -c & -d a & b :

Passo 5

Para que , os elementos correspondentes dessas duas matrizes devem ser iguais. Assim, temos as seguintes equações:
  1. (já obtido na equação 2)
  2. (igual à equação 1)

Passo 6

Das equações acima, temos que A = a & b - b & a e . Portanto, podemos expressar a matriz em termos de e :
onde e são números reais quaisquer.

Resposta

Todas as matrizes A = a & b - b & a que comutam com são da forma
onde e são números reais quaisquer.

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