Seja
Encontre todas as matrizes
, quadradas reais de ordem 2, tais que
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a matriz
e queremos encontrar todas as matrizes quadradas reais
de ordem 2 que satisfazem a equação
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a comutatividade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a matriz
seja generalemente:
onde
são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular o produto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto
:
Passo 5
Para que
, os elementos correspondentes dessas duas matrizes devem ser iguais. Assim, temos as seguintes equações:
-
-
-
(já obtido na equação 2) -
(igual à equação 1)
Passo 6
Das equações acima, temos que
e
. Portanto, podemos expressar a matriz
em termos de
e
:
onde
e
são números reais quaisquer.
Resposta
Todas as matrizes
que comutam com
são da forma
onde
e
são números reais quaisquer.