Encontre todas as matrizes , quadradas reais de ordem 2, tais que .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a matriz
e queremos encontrar todas as matrizes quadradas reais de ordem 2 que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a comutatividade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a matriz seja generalemente:
onde são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos calcular o produto :
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto :
Passo 5
Para que , os elementos correspondentes dessas duas matrizes devem ser iguais. Assim, temos as seguintes equações:
(já obtido na equação 2)
(igual à equação 1)
Passo 6
Das equações acima, temos que e . Portanto, podemos expressar a matriz em termos de e :