Seja
M=(cc 0 & -1 1 & 0 )
Encontre todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2, tais que A M=M A.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos a matriz
M = 0 & -1 1 & 0
e queremos encontrar todas as matrizes quadradas reais de ordem 2 que satisfazem a equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a comutatividade de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a matriz A = a & b c & d seja generalemente:
onde são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos calcular o produto A M = a & b c & d 0 & -1 1 & 0 = a cdot 0 + b cdot 1 & a cdot (-1) + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot 1 & c cdot (-1) + d cdot 0 = b & -a d & -c :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto M A = 0 & -1 1 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + (-1) cdot c & 0 cdot b + (-1) cdot d 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d = -c & -d a & b :

Passo 5

Para que , os elementos correspondentes dessas duas matrizes devem ser iguais. Assim, temos as seguintes equações:
  1. (já obtido na equação 2)
  2. (igual à equação 1)

Passo 6

Das equações acima, temos que A = a & b - b & a e . Portanto, podemos expressar a matriz em termos de e :
onde e são números reais quaisquer.

Resposta

Todas as matrizes A = a & b - b & a que comutam com são da forma
onde e são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados

Verifique se a matriz A=[cccc1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 2 & 1 1 & -1 & 1 & 0] é a inversa de B=[cccc1 & 1 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & -1 -1 & 1 & 0 & 1], usando produto entre matrizes.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
g) 13(A B+D).
Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular A B.
Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal, em relação ao produto interno canônico, a partir da base dada.
b. B=(-1,1),(1,1)