Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal, em relação ao produto interno canônico, a partir da base dada.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada em uma base ortonormal. Isso tudo se baseia em conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como tornar vetores “perpendiculares” e com comprimento 1 usando o produto interno canônico. Para isso, vamos precisar calcular projeções e normalizar os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de e . O objetivo é transformar esses vetores em novos vetores e que sejam ortogonais e de comprimento 1.
Passo 3
Começamos com , que é simplesmente normalizado. Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento. O comprimento de é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos obter . Primeiro, projetamos sobre . A projeção é dada por:
Calculamos os produtos internos:
Como a projeção é zero, o vetor já é ortogonal a . Portanto, basta normalizá-lo:
Então,
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: