Use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal, em relação ao produto interno canônico, a partir da base dada.
b. B=(-1,1),(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o processo de Gram-Schmidt para transformar a base dada B=(-1,1),(1,1) em uma base ortonormal. Isso tudo se baseia em conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como tornar vetores “perpendiculares” e com comprimento 1 usando o produto interno canônico. Para isso, vamos precisar calcular projeções e normalizar os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os vetores da base original de v1 = (-1,1) e v2 = (1,1). O objetivo é transformar esses vetores em novos vetores u1 e u2 que sejam ortogonais e de comprimento 1.

Passo 3

Começamos com u1, que é simplesmente v1 normalizado. Para normalizar um vetor, dividimos ele pelo seu comprimento. O comprimento de v1 é:
|v1| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Então,
u1 = v1|v1| = ( -1raiz2, 1raiz2 )

Passo 4

Agora, vamos obter u2. Primeiro, projetamos v2 sobre u1. A projeção é dada por:
proju1(v2) = ( v2 cdot u1u1 cdot u1 ) u1
Calculamos os produtos internos:
v2 cdot u1 = (1)(-1/raiz2) + (1)(1/raiz2) = -1raiz2 + 1raiz2 = 0
Como a projeção é zero, o vetor v2 já é ortogonal a u1. Portanto, basta normalizá-lo:
|v2| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então,
u2 = v2|v2| = ( 1raiz2, 1raiz2 )

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
Bortonormal = ( -1raiz2, 1raiz2 ), ( 1raiz2, 1raiz2 )

Exercícios relacionados

Considere as matrizes
A=[cc 1 & -2 3 & 1 7 & -4 5 & 9 ], B=[cccc 1 & 3 & -5 & 7 6 & 2 & -8 & 3 ] e C=[cccc 1 & 7 & 3 & -8 -3 & -1 & -1 & -3 4 & 1 & 9 & 0 5 & 3 & 2 & -3 ]
Calcular A B.
Seja
M=(cc 0 & -1 1 & 0 )
Encontre todas as matrizes A, quadradas reais de ordem 2, tais que A M=M A.
Considere o sistema linear a seguir:
c x+z=1 y+w=1 x+2 z+w=-1 x-y+z=1
Um estudante de MPA utilizou o exercício anterior e encontrou que o sistema tem solução única e é (4,0,-3,1).
Sem resolver o sistema, verifique se a solução encontrada está correta.
Verifique se a função dada é um produto interno.
d. lang<=rang<=:, R^3 R^3, lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 x2-y1 y2+z1 z2.