- Os vetores
e
geram o
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que os vetores
e
geram o
. Isso está falando sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Pra resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que nos ajudará a concluir que eles realmente geram todo o
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, se a única solução para
é
e
, então eles são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear:
Isso resulta em:
Agora, vamos resolver esse sistema.
Passo 4
Da primeira equação, temos
. Vamos substituir isso na segunda equação:
Então, substituindo
na primeira equação:
Logo, a única solução é
e
, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores
e
são linearmente independentes e existem dois vetores no
, eles formam uma base para
. Isso quer dizer que qualquer vetor no
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Portanto, eles geram o
.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente independentes e, por isso, geram o
.
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial sobre
. Prove, para todo
e
, que:
a) ,
b) ,
c) só é possível se
ou
,
d) .
a)
b)
c)
d)
Seja
o espaço vetorial das matrizes
sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos
abaixo são subespaços de
.
a)
b) é triangular superior
(Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c) é diagonal
(Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d) possui inversa
a)
b)
c)
d)
Seja
o operador linear de
tal que
e
. Determine o núcleo e a imagem de