1. Os vetores v1=(1,2) e v2=(3,5) geram o R^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que os vetores e geram o . Isso está falando sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Pra resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que nos ajudará a concluir que eles realmente geram todo o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, se a única solução para é e , então eles são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear:
a cdot (1, 2) + b cdot (3, 5) = (0, 0)
Isso resulta em:
a + 3b = 0 2a + 5b = 0
Agora, vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Da primeira equação, temos 2(-3b) + 5b = 0 -6b + 5b = 0 -1b = 0 b = 0 . Vamos substituir isso na segunda equação:
a = -3(0) a = 0
Então, substituindo na primeira equação:
Logo, a única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores e são linearmente independentes e existem dois vetores no , eles formam uma base para . Isso quer dizer que qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Portanto, eles geram o .

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes e, por isso, geram o .

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