1. Os vetores e geram o .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que os vetores e geram o . Isso está falando sobre espaços vetoriais e combinações lineares. Pra resolver, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, o que nos ajudará a concluir que eles realmente geram todo o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que os vetores são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação não trivial deles resulta no vetor zero. Em termos matemáticos, se a única solução para é e , então eles são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações baseado na combinação linear:
Isso resulta em:
Agora, vamos resolver esse sistema.

Passo 4

Da primeira equação, temos . Vamos substituir isso na segunda equação:
Então, substituindo na primeira equação:
Logo, a única solução é e , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores e são linearmente independentes e existem dois vetores no , eles formam uma base para . Isso quer dizer que qualquer vetor no pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores. Portanto, eles geram o .

Resposta

Os vetores e são linearmente independentes e, por isso, geram o .

Exercícios relacionados

Seja um espaço vetorial sobre . Prove, para todo e , que:
a) ,
b) ,
c) só é possível se ou ,
d) .
Seja o espaço vetorial das matrizes sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos abaixo são subespaços de .
a)
b) é triangular superior (Pesquise o que é uma matriz triangular superior).
c) é diagonal (Pesquise o que é uma matriz diagonal).
d) possui inversa
Seja o operador linear de tal que e . Determine o núcleo e a imagem de