Verdadeiro ou falso? Justifique.
$(f) $Definimos . Se é uma matriz triangular inferior, então é uma matriz triangular inferior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se, ao multiplicar uma matriz triangular inferior por ela mesma, ou seja, calcular , o resultado também será uma matriz triangular inferior. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Por exemplo:
Passo 3
Agora, vamos entender o que acontece quando multiplicamos duas matrizes triangulares inferiores. Quando multiplicamos por , cada elemento na matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha de pelos elementos da coluna de .
Passo 4
Vamos ver se, para , os elementos de continuam sendo zero. Como é triangular inferior, para , os elementos de já são zero. Portanto, na multiplicação, qualquer soma que envolva esses zeros continuará sendo zero.
Passo 5
Isso significa que na matriz , todos os elementos acima da diagonal principal também serão zero, mantendo-a triangular inferior. Portanto, a propriedade de ser triangular inferior é preservada na multiplicação.
Resposta
Verdadeiro. Se é uma matriz triangular inferior, então também é uma matriz triangular inferior.