Verdadeiro ou falso? Justifique.
$(f) $Definimos (f) . Se A^2:=A cdot A é uma matriz triangular inferior, então A é uma matriz triangular inferior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se, ao multiplicar uma matriz triangular inferior por ela mesma, ou seja, calcular , o resultado também será uma matriz triangular inferior. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes triangulares e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular inferior. É uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Por exemplo:
A = a11 & 0 & 0 a21 & a22 & 0 a31 & a32 & a33

Passo 3

Agora, vamos entender o que acontece quando multiplicamos duas matrizes triangulares inferiores. Quando multiplicamos por , cada elemento na matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos da linha de pelos elementos da coluna de .

Passo 4

Vamos ver se, para , os elementos de continuam sendo zero. Como é triangular inferior, para , os elementos de já são zero. Portanto, na multiplicação, qualquer soma que envolva esses zeros continuará sendo zero.

Passo 5

Isso significa que na matriz , todos os elementos acima da diagonal principal também serão zero, mantendo-a triangular inferior. Portanto, a propriedade de ser triangular inferior é preservada na multiplicação.

Resposta

Verdadeiro. Se é uma matriz triangular inferior, então também é uma matriz triangular inferior.

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