Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e pede para encontrarmos a sua matriz adjunta. A matriz adjunta é importante em diversas áreas da matemática, especialmente na resolução de sistemas lineares e no cálculo de determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta, como calcular os cofatores de uma matriz e, por fim, como montar a matriz adjunta a partir desses cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz adjunta. A matriz adjunta, também conhecida como adjugate, é a transposta da matriz de cofatores de adj(A) = [ Cji ] . Ou seja:
onde é o cofator do elemento na matriz original . Portanto, nosso primeiro passo é calcular todos os cofatores de .
Passo 3
Vamos calcular os cofatores de cada elemento de Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) . O cofator M11 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 , det(M11) = 1 é dado por:
C11 = (-1)^1+1 cdot 1 = 1
onde M12 = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 , det(M12) = 2 é a matriz resultante ao remover a C12 = (-1)^1+2 cdot 2 = -2 -ésima linha e a M13 = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 , det(M13) = 4 -ésima coluna de C13 = (-1)^1+3 cdot 4 = -4 .
Repetiremos esse processo para todos os elementos da matriz . Entretanto, como é uma matriz triangular inferior com muitos zeros, muitos dos cofatores serão simplificados.
Passo 4
Após calcular todos os cofatores, montamos a matriz de cofatores C = C11 & C12 & C13 & C14 C21 & C22 & C23 & C24 C31 & C32 & C33 & C34 C41 & C42 & C43 & C44 :
Com os valores calculados no passo anterior, preencheremos essa matriz.
Passo 5
Finalmente, para obter a matriz adjunta adj(A) = C^T , devemos transpor a matriz de cofatores :
Isso significa que a linha da matriz de cofatores se torna a coluna da matriz adjunta.