Seja a matriz
Encontre a matriz adjunta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e pede para encontrarmos a sua matriz adjunta. A matriz adjunta é importante em diversas áreas da matemática, especialmente na resolução de sistemas lineares e no cálculo de determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta, como calcular os cofatores de uma matriz e, por fim, como montar a matriz adjunta a partir desses cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz adjunta. A matriz adjunta, também conhecida como adjugate, é a transposta da matriz de cofatores de . Ou seja:
onde é o cofator do elemento na matriz original . Portanto, nosso primeiro passo é calcular todos os cofatores de .

Passo 3

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de . O cofator é dado por:
onde é a matriz resultante ao remover a -ésima linha e a -ésima coluna de .
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator :
  2. Cofator :
  3. Cofator :
  4. Cofator :
Repetiremos esse processo para todos os elementos da matriz . Entretanto, como é uma matriz triangular inferior com muitos zeros, muitos dos cofatores serão simplificados.

Passo 4

Após calcular todos os cofatores, montamos a matriz de cofatores :
Com os valores calculados no passo anterior, preencheremos essa matriz.

Passo 5

Finalmente, para obter a matriz adjunta , devemos transpor a matriz de cofatores :
Isso significa que a linha da matriz de cofatores se torna a coluna da matriz adjunta.

Resposta

A matriz adjunta de é:

Exercícios relacionados

Seja uma matriz quadrada de ordem 5, cujo determinante é igual a -2 e seja a matriz quadrada obtida de após serem realizadas as seguintes operações elementares sobre as linhas de :
Calcule o determinante da matriz .
Verifique se é um subespaço vetorial de .
Verifique se o conjunto dado abaixo forma uma base de .
Sejam
e
subespaços vetoriais de .
Determine uma base para e para .