Seja a matriz
A=[llll 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 ]
Encontre a matriz adjunta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz quadrada de ordem 4 e pede para encontrarmos a sua matriz adjunta. A matriz adjunta é importante em diversas áreas da matemática, especialmente na resolução de sistemas lineares e no cálculo de determinantes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz adjunta, como calcular os cofatores de uma matriz e, por fim, como montar a matriz adjunta a partir desses cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz adjunta. A matriz adjunta, também conhecida como adjugate, é a transposta da matriz de cofatores de adj(A) = [ Cji ] . Ou seja:
onde é o cofator do elemento na matriz original . Portanto, nosso primeiro passo é calcular todos os cofatores de .

Passo 3

Vamos calcular os cofatores de cada elemento de Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) . O cofator M11 = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 , det(M11) = 1 é dado por:
C11 = (-1)^1+1 cdot 1 = 1
onde M12 = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 2 & 1 , det(M12) = 2 é a matriz resultante ao remover a C12 = (-1)^1+2 cdot 2 = -2 -ésima linha e a M13 = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 , det(M13) = 4 -ésima coluna de C13 = (-1)^1+3 cdot 4 = -4 .
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator M14 = 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2 , det(M14) = 8 :
    C14 = (-1)^1+4 cdot 8 = 8
  2. Cofator :
  3. Cofator :
  4. Cofator :
Repetiremos esse processo para todos os elementos da matriz . Entretanto, como é uma matriz triangular inferior com muitos zeros, muitos dos cofatores serão simplificados.

Passo 4

Após calcular todos os cofatores, montamos a matriz de cofatores C = C11 & C12 & C13 & C14 C21 & C22 & C23 & C24 C31 & C32 & C33 & C34 C41 & C42 & C43 & C44 :
Com os valores calculados no passo anterior, preencheremos essa matriz.

Passo 5

Finalmente, para obter a matriz adjunta adj(A) = C^T , devemos transpor a matriz de cofatores :
Isso significa que a linha da matriz de cofatores se torna a coluna da matriz adjunta.

Resposta

A matriz adjunta de adj(A) = 1 & -2 & 4 & -8 0 & 1 & -2 & 4 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 1 é:

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