Seja uma matriz em . Mostre que:
(a) as matrizes e são simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que duas matrizes específicas são simétricas. Primeiro, o que é uma matriz simétrica? É uma matriz que é igual à sua transposta, ou seja, . Vamos usar esse conceito pra provar que:
é simétrica
é simétrica
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz: . A transposta de um produto de matrizes segue a regra . Aplicando isso aqui:
Passo 3
Sabemos que a transposta de uma transposta nos traz de volta a matriz original, ou seja, . Então substituindo na equação anterior:
Isso mostra que é igual à sua transposta, o que significa que ela é simétrica.
Passo 4
Agora vamos para a segunda matriz: . A transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas, e a transposta de uma constante vezes uma matriz é a constante vezes a transposta. Então:
Passo 5
Novamente, lembrando que , substituímos na equação:
Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.