Seja uma matriz em . Mostre que:
(a) as matrizes e são simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que duas matrizes específicas são simétricas. Primeiro, o que é uma matriz simétrica? É uma matriz que é igual à sua transposta, ou seja, . Vamos usar esse conceito pra provar que:
  1. é simétrica
  2. é simétrica

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz: . A transposta de um produto de matrizes segue a regra . Aplicando isso aqui:

Passo 3

Sabemos que a transposta de uma transposta nos traz de volta a matriz original, ou seja, . Então substituindo na equação anterior:
Isso mostra que é igual à sua transposta, o que significa que ela é simétrica.

Passo 4

Agora vamos para a segunda matriz: . A transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas, e a transposta de uma constante vezes uma matriz é a constante vezes a transposta. Então:

Passo 5

Novamente, lembrando que , substituímos na equação:
Isso mostra que é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.

Resposta

Portanto, ambas as matrizes e são simétricas.

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Quadro 1 - Cronometragens (minutos)
ELEMENTOS 1 2 3 4
Elemento 1 1,03 1,04 1,02 1,02
Elemento 2 2,07 2,02 2,04 2,03
Total 3,10 3,06 3,06 3,05
Velocidade
Dadas e mostre que .
Verdadeiro ou falso?