Seja A uma matriz em Mn(R). Mostre que:
(a) as matrizes A cdot A^t e 12(A+A^t) são simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que duas matrizes específicas são simétricas. Primeiro, o que é uma matriz simétrica? É uma matriz que é igual à sua transposta, ou seja, M = M^t. Vamos usar esse conceito pra provar que:
  1. A cdot A^t é simétrica
  2. 12(A + A^t) é simétrica

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz: A cdot A^t. A transposta de um produto de matrizes segue a regra (A cdot B)^t = B^t cdot A^t. Aplicando isso aqui:
(A cdot A^t)^t = (A^t)^t cdot A^t

Passo 3

Sabemos que a transposta de uma transposta nos traz de volta a matriz original, ou seja, (A^t)^t = A. Então substituindo na equação anterior:
(A cdot A^t)^t = A cdot A^t
Isso mostra que A cdot A^t é igual à sua transposta, o que significa que ela é simétrica.

Passo 4

Agora vamos para a segunda matriz: 12(A + A^t). A transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas, e a transposta de uma constante vezes uma matriz é a constante vezes a transposta. Então:
(12(A + A^t))^t = 12(A^t + (A^t)^t)

Passo 5

Novamente, lembrando que (A^t)^t = A, substituímos na equação:
12(A^t + A) = 12(A + A^t)
Isso mostra que 12(A + A^t) é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.

Resposta

Portanto, ambas as matrizes A cdot A^t e 12(A + A^t) são simétricas.

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