Seja
uma matriz em
. Mostre que:
(a) as matrizes
e
são simétricas.
(a) as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que duas matrizes específicas são simétricas. Primeiro, o que é uma matriz simétrica? É uma matriz que é igual à sua transposta, ou seja,
. Vamos usar esse conceito pra provar que:
-
é simétrica -
é simétrica
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
. A transposta de um produto de matrizes segue a regra
. Aplicando isso aqui:
Passo 3
Sabemos que a transposta de uma transposta nos traz de volta a matriz original, ou seja,
. Então substituindo na equação anterior:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, o que significa que ela é simétrica.
Passo 4
Agora vamos para a segunda matriz:
. A transposta de uma soma de matrizes é a soma das transpostas, e a transposta de uma constante vezes uma matriz é a constante vezes a transposta. Então:
Passo 5
Novamente, lembrando que
, substituímos na equação:
Isso mostra que
é igual à sua transposta, ou seja, é simétrica.
Resposta
Portanto, ambas as matrizes
e
são simétricas.