Seja
uma matriz quadrada de ordem
que satisfaz
onde
.
(b) Para
verifque se
é invertível. Caso afirmativo, calcule
.
(b) Para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada
de ordem
onde cada elemento
é dado por
. A parte (b) pede para, quando
, verificar se
é invertível e, se for, calcular a inversa
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz
quando
. Isso significa que
será uma matriz 2x2. Vamos calcular cada elemento usando a fórmula
.
-
Para
e : -
Para
e : -
Para
e : -
Para
e :
Então, a matriz
fica:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é invertível. Uma matriz 2x2 é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de
.
O determinante de uma matriz
é dado por
.
Aplicando isso à nossa matriz:
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, a matriz
é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que
é invertível, vamos calcular a inversa
. Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
Onde
são os elementos da matriz original
.
Substituindo os valores:
Multiplicando cada elemento pela
:
Resposta
Sim, a matriz
é invertível, e a sua inversa é: