Seja A uma matriz quadrada de ordem n que satisfaz An=(ai j) onde ai j= (-1)^i+j(i-3 j).
(b) Para n=2 verifque se A é invertível. Caso afirmativo, calcule A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada de ordem onde cada elemento é dado por . A parte (b) pede para, quando , verificar se é invertível e, se for, calcular a inversa . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz a11 = (-1)^1+1(1 - 3 times 1) = (-1)^2 times (1 - 3) = 1 times (-2) = -2 quando a12 = (-1)^1+2(1 - 3 times 2) = (-1)^3 times (1 - 6) = -1 times (-5) = 5 . Isso significa que a21 = (-1)^2+1(2 - 3 times 1) = (-1)^3 times (2 - 3) = -1 times (-1) = 1 será uma matriz 2x2. Vamos calcular cada elemento usando a fórmula a22 = (-1)^2+2(2 - 3 times 2) = (-1)^4 times (2 - 6) = 1 times (-4) = -4 .
  • Para A = -2 & 5 1 & -4 e :
  • Para e :
  • Para e :
  • Para e :
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a & b c & d é invertível. Uma matriz 2x2 é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = (-2) times (-4) - (5) times (1) = 8 - 5 = 3 .
O determinante de uma matriz é dado por .
Aplicando isso à nossa matriz:
Como o determinante é 3, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a é invertível, vamos calcular a inversa A^-1 = 13 -4 & -5 -1 & -2 . Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
A^-1 = -43 & -53 -13 & -23
Onde são os elementos da matriz original .
Substituindo os valores:
Multiplicando cada elemento pela :

Resposta

Sim, a matriz A^-1 = -dfrac43 & -dfrac53 -dfrac13 & -dfrac23 é invertível, e a sua inversa é:

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