Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
© Substitua a linha 2 da matriz por e resolva o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . O conteúdo principal aqui é resolver sistemas lineares usando o método de Gauss, que é uma técnica para simplificar a matriz e encontrar as soluções. Para isso, vamos precisar substituir a segunda linha da matriz como indicado e depois aplicar o método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a segunda linha da matriz pela nova linha . Então, a matriz fica assim:
E o vetor permanece:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada que combina e :

Passo 4

Vamos começar a aplicar o método de Gauss para transformar essa matriz em uma forma triangular superior. A ideia é eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na posição (1,1)).
  • Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 abaixo do pivô:
  • Segundo, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o 2 abaixo do pivô:
A matriz agora fica:

Passo 5

Continuamos eliminando, agora focando na segunda coluna. Queremos que o elemento (3,2) seja zero. Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por 2 e somar com a terceira linha:
Perceba que isso não eliminou o elemento, então precisamos ajustar. Na verdade, há uma inconsistência que nos mostra que o sistema pode não ter solução única. Vamos verificar:
A segunda linha pode ser simplificada dividindo por -1:
E a terceira linha (antes da operação anterior):
Multiplicando a segunda linha por 2 e somando à terceira:
Isso resulta em uma equação , o que é impossível. Isso significa que o sistema é inconsistente e não possui solução.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.

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Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(b) Resolva o sistema .
Sabendo que , encontre a solução do sistema onde
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
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