Sejam A=[ccc1 & 2 & 3 -1 & 2 & -3 2 & 2 & 2] e b=[l1 1 3]. Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(b) Resolva o sistema A X=-X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações dado por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de sistemas lineares e métodos de resolução como o Método de Gauss. Para resolver esse sistema, vamos precisar manipular as equações para encontrar o vetor que satisfaz a igualdade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa A X + X = 0 . Podemos reescrever essa equação adicionando (A + I) X = 0 aos dois lados:
Isso é o mesmo que:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Vamos calcular I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade A + I = 1+1 & 2+0 & 3+0 -1+0 & 2+1 & -3+0 2+0 & 2+0 & 2+1 = 2 & 2 & 3 -1 & 3 & -3 2 & 2 & 3 para uma matriz 3x3 é:
Então, somando e :

Passo 4

Agora temos o sistema 2 & 2 & 3 -1 & 3 & -3 2 & 2 & 3 x1 x2 x3 = 0 0 0 , que é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem esse sistema. Vamos usar o Método de Gauss para resolver.

Passo 5

Aplicando o Método de Gauss, vamos transformar a matriz aumentada [ccc|c 2 & 2 & 3 & 0 -1 & 3 & -3 & 0 2 & 2 & 3 & 0 ] em uma forma triangular superior.
A matriz aumentada é:
[ccc|c 1 & 1 & 1.5 & 0 -1 & 3 & -3 & 0 2 & 2 & 3 & 0 ]
Primeiro, vamos fazer o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1, dividindo a primeira linha por 2:

Passo 6

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira coluna). Para isso:
  • Adicionamos a primeira linha à segunda linha:
R2 = R2 + R1 Rightarrow (-1 + 1, 3 + 1, -3 + 1.5, 0 + 0) = (0, 4, -1.5, 0)
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R1 Rightarrow (2 - 2*1, 2 - 2*1, 3 - 2*1.5, 0 - 0) = (0, 0, 0, 0)
A matriz fica:
[ccc|c 1 & 1 & 1.5 & 0 0 & 4 & -1.5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 7

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 4 para tornar o segundo pivô igual a 1:
[ccc|c 1 & 1 & 1.5 & 0 0 & 1 & -0.375 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 8

Com a matriz na forma triangular, podemos escrever as equações correspondentes:
A terceira linha não fornece informação adicional, então temos uma variável livre, .

Passo 9

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
x2 = 0.375 x3
Substituindo na primeira equação:
x1 + 0.375 x3 + 1.5 x3 = 0 x1 + 1.875 x3 = 0 x1 = -1.875 x3

Resposta

Os vetores solução são da forma:
X = -1.875 , t 0.375 , t t
onde é um número real qualquer. Portanto, o sistema possui infinitas soluções parametrizadas por .

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