Sejam e . Em todos os casos abaixo, resolva o sistema indicado usando o método de Gauss.
(b) Resolva o sistema .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações dado por . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente no estudo de sistemas lineares e métodos de resolução como o Método de Gauss. Para resolver esse sistema, vamos precisar manipular as equações para encontrar o vetor que satisfaz a igualdade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Podemos reescrever essa equação adicionando aos dois lados:
Isso é o mesmo que:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Vamos calcular . A matriz identidade para uma matriz 3x3 é:
Então, somando e :
Passo 4
Agora temos o sistema , que é:
Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem esse sistema. Vamos usar o Método de Gauss para resolver.
Passo 5
Aplicando o Método de Gauss, vamos transformar a matriz aumentada em uma forma triangular superior.
A matriz aumentada é:
Primeiro, vamos fazer o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1, dividindo a primeira linha por 2:
Passo 6
Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do pivô (primeiro elemento da primeira coluna). Para isso:
Adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
A matriz fica:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por 4 para tornar o segundo pivô igual a 1:
Passo 8
Com a matriz na forma triangular, podemos escrever as equações correspondentes:
A terceira linha não fornece informação adicional, então temos uma variável livre, .
Passo 9
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Resposta
Os vetores solução são da forma:
onde é um número real qualquer. Portanto, o sistema possui infinitas soluções parametrizadas por .