Seja
o espaço vetorial real das funções polinomiais
, seja
o operador derivação,
, e seja
o operador definido por
. Considere as seguintes afirmações:
(VI)
(VI)
Passo 1
Ok, bora lá! A gente tem um espaço vetorial de polinômios,
, e dois operadores: a derivada
e o operador
que multiplica o polinômio por
, ou seja,
. A questão é sobre a afirmação (VI) que diz que a imagem de
,
, é o conjunto de todos os polinômios que valem zero em
, ou seja,
. Vamos verificar se isso é verdade!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a imagem de
. A imagem de um operador é basicamente o conjunto de todos os resultados possíveis quando aplicamos esse operador a todos os elementos do espaço. Então,
é o conjunto de todos os polinômios que conseguimos obter multiplicando qualquer polinômio
por
.
Passo 3
Vamos ver o que acontece quando multiplicamos um polinômio
por
. Seja
. Então,
Note que todo termo de
tem pelo menos um
, ou seja, quando
,
Então, todo polinômio na imagem de
satisfaz
.
Passo 4
Agora, vamos ver se todo polinômio que satisfaz
está na imagem de
. Se
, então podemos escrever
para algum polinômio
. Isso significa que existe um polinômio
tal que
. Portanto, qualquer polinômio que vale zero em
pode ser obtido aplicando
a algum polinômio
.
Passo 5
Juntando as duas partes, vimos que:
- Todo polinômio na imagem de
tem . - Todo polinômio com
está na imagem de .
Isso mostra que a imagem de
é exatamente o conjunto de todos os polinômios que valem zero em
.
Resposta
A afirmação (VI) é verdadeira:
.