Seja V = R[t] o espaço vetorial real das funções polinomiais p: R -> R, seja D: V -> V o operador derivação, D(p)(t) = p'(t), e seja T: V -> V o operador definido por T(p)(t) = t * p(t). Considere as seguintes afirmações:
(VI) Im(T) = {p em V: p(0) = 0}

Passo 1

Ok, bora lá! A gente tem um espaço vetorial de polinômios, , e dois operadores: a derivada e o operador que multiplica o polinômio por , ou seja, . A questão é sobre a afirmação (VI) que diz que a imagem de , , é o conjunto de todos os polinômios que valem zero em , ou seja, . Vamos verificar se isso é verdade!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a imagem de . A imagem de um operador é basicamente o conjunto de todos os resultados possíveis quando aplicamos esse operador a todos os elementos do espaço. Então, é o conjunto de todos os polinômios que conseguimos obter multiplicando qualquer polinômio por .

Passo 3

Vamos ver o que acontece quando multiplicamos um polinômio por . Seja . Então,
Note que todo termo de tem pelo menos um , ou seja, quando ,
Então, todo polinômio na imagem de satisfaz .

Passo 4

Agora, vamos ver se todo polinômio que satisfaz está na imagem de . Se , então podemos escrever para algum polinômio . Isso significa que existe um polinômio tal que . Portanto, qualquer polinômio que vale zero em pode ser obtido aplicando a algum polinômio .

Passo 5

Juntando as duas partes, vimos que:
  1. Todo polinômio na imagem de tem .
  2. Todo polinômio com está na imagem de .
Isso mostra que a imagem de é exatamente o conjunto de todos os polinômios que valem zero em .

Resposta

A afirmação (VI) é verdadeira: .

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