Seja T: R^3 R^3 a transformação
T(x, y, z)=(2 x+6 y-9 z, y3-8 z, z)
e seja Q subset R^3 um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é maior do que o volume de Q.
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
© é igual ao volume de Q.
(D) é menor do que o volume de Q.
(E) Não sei

Passo 1

Então, a questão fala sobre uma transformação linear T(x, y, z) = (2x + 6y - 9z, y3 - 8z, z) definida por:
Temos também um paralelepípedo com volume 5. Queremos descobrir qual é o volume do paralelepípedo após aplicar a transformação , ou seja, .
Vamos precisar entender como transformações lineares afetam volumes, usando o conceito de determinante de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação A = 2 & 6 & -9 0 & 13 & -8 0 & 0 & 1 como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz:

Passo 3

Para descobrir como a transformação det(A) = 2 times 13 times 1 = 23 afeta o volume do paralelepípedo , precisamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz quanto o volume será escalado após a transformação.
Como é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:

Passo 4

O volume do paralelepípedo transformado Volume de T(Q) = |det(A)| times Volume de Q = 23 times 5 = 103 approx 3,33 é igual ao valor absoluto do determinante de multiplicado pelo volume original de :

Resposta

A transformação resulta em um volume menor que o volume original de . Portanto, a resposta correta é:
(D) é menor do que o volume de .

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