Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 5 . O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é maior do que o volume de .
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de .
© é igual ao volume de .
(D) é menor do que o volume de .
(E) Não sei

Passo 1

Então, a questão fala sobre uma transformação linear definida por:
Temos também um paralelepípedo com volume 5. Queremos descobrir qual é o volume do paralelepípedo após aplicar a transformação , ou seja, .
Vamos precisar entender como transformações lineares afetam volumes, usando o conceito de determinante de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma coluna da matriz:

Passo 3

Para descobrir como a transformação afeta o volume do paralelepípedo , precisamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz quanto o volume será escalado após a transformação.
Como é uma matriz triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal:

Passo 4

O volume do paralelepípedo transformado é igual ao valor absoluto do determinante de multiplicado pelo volume original de :

Resposta

A transformação resulta em um volume menor que o volume original de . Portanto, a resposta correta é:
(D) é menor do que o volume de .

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Seja uma matriz simétrica e a forma quadrática associada. Se o espectro de é , podemos afirmar que:
(A) para todo .
(B) para todo e existe com .
© para todo e existe com .
(D) existem e tais que .
(E) para todo .
(F) Não sei
Resolva o sistema:
Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(E) 4
Aplique o algoritmo de escalonamento na matriz aumentada: