Seja o subespaço de gerado pelos vetores .
Encontre uma base e a dimensão de ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão de um subespaço de . Esse subespaço é gerado por três vetores: , e . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais, bases, dimensão e independência linear. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor é uma linha da matriz:
Nosso objetivo é encontrar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base de e a dimensão será o número de vetores. Se não forem, precisamos reduzir a matriz para encontrar uma base mínima.
Passo 3
Vamos fazer eliminação de Gauss para simplificar a matriz e ver se conseguimos um conjunto de vetores independentes.
Primeiro, usamos o primeiro elemento da primeira linha para eliminar os elementos abaixo dele:
Eliminar o 2 da segunda linha:
Eliminar o 3 da terceira linha:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas. Observamos que a terceira linha é o dobro da segunda:
Simplificamos a terceira linha:
Isso mostra que o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros, ou seja, não é independente.
Passo 5
Então, restaram apenas dois vetores independentes:
Esses dois vetores formam uma base para , já que são independentes e geram .
Resposta
Uma base para é formada pelos vetores e . A dimensão de é 2.