Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar a Regra da Substituição na integral
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável
, facilitar a integração e depois voltar para a variável original
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher o que substituir por
. Olhando para a integral
, percebemos que a expressão dentro da raiz,
, é uma boa candidata para
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para poder substituir
. Vamos derivar
:
Isso significa que:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original. Mas antes, observe que temos
na integral. Podemos reescrever
como
. Assim, a integral fica:
Agora, substituindo
e
, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão, os termos
no numerador e denominador se cancelam:
Isso fica:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
na integral, temos:
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Multiplicando cada termo dentro do parênteses por
:
Simplificando as potências de
:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Usamos a regra de integração
, onde
é a constante de integração.
Passo 9
Integrando cada termo:
Substituindo na integral:
Passo 10
Simplificando os coeficientes:
Distribuindo o
:
Passo 11
Agora, vamos substituir
de volta na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Utilizando a Regra da Substituição, faça
, encontre
, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável
e volte para a variável
.
(a)
(a)
Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Utilizando integração por partes, escreva quem é
e
e
em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(b)
(b)