Utilizando a Regra da Substituição, faça u=g(x), encontre d u=g^prime(x) d x, escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável u e volte para a variável x.
(e) integral x^5 cdot raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar a Regra da Substituição na integral . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável , facilitar a integração e depois voltar para a variável original .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que substituir por u = 1 + x^2 . Olhando para a integral , percebemos que a expressão dentro da raiz, , é uma boa candidata para . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x em relação a du = 2x , dx para poder substituir dx = du2x . Vamos derivar :
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos substituir integral x^4 cdot x cdot raiz1+x^2 , dx e integral x^4 cdot x cdot raizu cdot du2x na integral original. Mas antes, observe que temos na integral. Podemos reescrever como . Assim, a integral fica:
Agora, substituindo e , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, os termos integral x^4 cdot raizu cdot du2 no numerador e denominador se cancelam:
12 integral x^4 cdot raizu , du
Isso fica:
x^2 = u - 1
Mas precisamos expressar x^4 = (x^2)^2 = (u - 1)^2 em termos de . Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Substituindo 12 integral (u - 1)^2 cdot raizu , du na integral, temos:
(u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1
Agora, vamos expandir 12 integral (u^2 - 2u + 1) cdot u^1/2 , du :
Então, a integral fica:

Passo 7

Multiplicando cada termo dentro do parênteses por 12 integral ( u^2 cdot u^1/2 - 2u cdot u^1/2 + 1 cdot u^1/2 ) , du :
12 integral ( u^5/2 - 2u^3/2 + u^1/2 ) , du
Simplificando as potências de :

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
12 ( integral u^5/2 , du - 2 integral u^3/2 , du + integral u^1/2 , du )
Usamos a regra de integração , onde é a constante de integração.

Passo 9

Integrando cada termo:
  1. 12 ( 27 u^7/2 - 2 cdot 25 u^5/2 + 23 u^3/2 ) + C
Substituindo na integral:

Passo 10

Simplificando os coeficientes:
12 ( 27 u^7/2 - 45 u^5/2 + 23 u^3/2 ) + C
Distribuindo o 17 u^7/2 - 25 u^5/2 + 13 u^3/2 + C :

Passo 11

Agora, vamos substituir 17 (1 + x^2)^7/2 - 25 (1 + x^2)^5/2 + 13 (1 + x^2)^3/2 + C de volta na expressão:

Resposta

A integral 17 (1 + x^2)^7/2 - 25 (1 + x^2)^5/2 + 13 (1 + x^2)^3/2 + C é igual a:

Exercícios relacionados