Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para usar a Regra da Substituição na integral . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável , facilitar a integração e depois voltar para a variável original .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que substituir por . Olhando para a integral , percebemos que a expressão dentro da raiz, , é uma boa candidata para . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para poder substituir . Vamos derivar :
Isso significa que:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Mas antes, observe que temos na integral. Podemos reescrever como . Assim, a integral fica:
Agora, substituindo e , temos:

Passo 5

Simplificando a expressão, os termos no numerador e denominador se cancelam:
Isso fica:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
Agora, vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 7

Multiplicando cada termo dentro do parênteses por :
Simplificando as potências de :

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Usamos a regra de integração , onde é a constante de integração.

Passo 9

Integrando cada termo:
Substituindo na integral:

Passo 10

Simplificando os coeficientes:
Distribuindo o :

Passo 11

Agora, vamos substituir de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a:

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Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(a)
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Utilizando integração por partes, escreva quem é e e em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(b)