Seja C a metade superior da circunferência x^2+y^2=25, e r(t)=(x(t), y(t)), com t0 <= t <= t1, uma parametrização para C. A integral integralC(1+y) d s=integralt0^t1 varphi(t) d t=cdots=mu, onde mu é o valor da integral. Determine:
varphi(t)=

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma circunferência de raio 5, já que . Queremos focar na metade superior dessa circunferência, que chamamos de . O exercício nos pede para encontrar a função que aparece na integral parametrizada , onde é o valor da integral . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a metade superior da circunferência x(t) = 5 cos(t) . Uma forma comum de parametrizar uma circunferência é usando funções trigonométricas seno e cosseno. Como estamos na metade superior, o ângulo y(t) = 5 sin(t) vai de a . Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de a , ou seja, e .

Passo 3

Agora que temos a parametrização ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , vamos calcular o elemento diferencial de arco dxdt = -5 sin(t) . Para isso, usamos a fórmula:
dydt = 5 cos(t)
Primeiro, calculamos as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula de ds = raiz(-5 sin(t))^2 + (5 cos(t))^2 , dt = raiz25 sin^2(t) + 25 cos^2(t) , dt :
25 (sin^2(t) + cos^2(t)) = 25 times 1 = 25
Simplificando dentro da raiz:
ds = raiz25 , dt = 5 , dt
Então:

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral integral0^pi (1 + 5 sin(t)) times 5 , dt usando nossa parametrização. Substituímos integral0^pi (5 + 25 sin(t)) , dt e :
Multiplicando os termos:

Passo 6

Comparando com a forma dada no problema varphi(t) = 5 + 25 sin(t) , vemos que:

Resposta

varphi(t) = 5 + 25 sin(t)

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