Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma circunferência de raio 5, já que . Queremos focar na metade superior dessa circunferência, que chamamos de . O exercício nos pede para encontrar a função que aparece na integral parametrizada , onde é o valor da integral . Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a metade superior da circunferência . Uma forma comum de parametrizar uma circunferência é usando funções trigonométricas seno e cosseno. Como estamos na metade superior, o ângulo vai de a . Assim, podemos escrever:
Aqui, varia de a , ou seja, e .

Passo 3

Agora que temos a parametrização , vamos calcular o elemento diferencial de arco . Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula de :
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, vamos expressar a integral usando nossa parametrização. Substituímos e :
Multiplicando os termos:

Passo 6

Comparando com a forma dada no problema , vemos que:

Resposta

Exercícios relacionados

Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(e)
Seja a metade superior da circunferência , e , com , uma parametrização para . A integral , onde é o valor da integral. Determine:
Utilizando integração por partes, escreva quem é e e em cada item. Em seguida, resolva a integral.
(b)
Utilizando a Regra da Substituição, faça , encontre , escreva as modificações encontradas, resolva a integral na variável e volte para a variável .
(b)