Seja
a metade superior da circunferência
, e
, com
, uma parametrização para
. A integral
, onde
é o valor da integral. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma circunferência de raio 5, já que
. Queremos focar na metade superior dessa circunferência, que chamamos de
. O exercício nos pede para encontrar a função
que aparece na integral parametrizada
, onde
é o valor da integral
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a metade superior da circunferência
. Uma forma comum de parametrizar uma circunferência é usando funções trigonométricas seno e cosseno. Como estamos na metade superior, o ângulo
vai de
a
. Assim, podemos escrever:
Aqui,
varia de
a
, ou seja,
e
.
Passo 3
Agora que temos a parametrização
, vamos calcular o elemento diferencial de arco
. Para isso, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula de
:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, vamos expressar a integral
usando nossa parametrização. Substituímos
e
:
Multiplicando os termos:
Passo 6
Comparando com a forma dada no problema
, vemos que: