Seja mu uma constante real satisfazendo mu != -1. Mostre que (x, y) = (0, 0) é sempre um ponto de equilíbrio instável do sistema linear
{ x' = mu * x + y; y' = -x + y }
Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto de sela? Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto espiral instável? Para quais valores de mu o ponto (0,0) é um ponto nó instável? (Os valores de mu para os quais as características do equilíbrio mudam são chamados de bifurcações.)

Passo 1

Vamos resolver um sistema linear de equações diferenciais para encontrar o ponto de equilíbrio (0,0) e analisar sua estabilidade. Vamos usar conceitos de teoria de sistemas dinâmicos, como pontos de sela, espirais instáveis e nós instáveis. Precisaremos encontrar os autovalores da matriz do sistema para determinar o comportamento do ponto de equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
onde

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante da matriz e igualamos a zero:
Isso resulta na equação característica:

Passo 4

Expandindo a equação característica:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática para lambda:
Simplificando o discriminante:

Passo 6

Agora, analisamos o discriminante Delta para determinar os tipos de pontos de equilíbrio:
  1. Ponto de Sela: e as raízes são reais e de sinais opostos.
  2. Espiral Instável: e as raízes são complexas com parte real positiva.
  3. Nó Instável: e as raízes são reais e ambas positivas.

Passo 7

Determinar para quais valores de mu cada caso ocorre:
  1. Sela:
    • Isso acontece quando ou
  2. Espiral Instável:
    • Isso acontece quando
  3. Nó Instável:
    • e ambas as raízes são positivas.
    • Isso ocorre quando

Resposta

O ponto (0,0) é um ponto de sela para ou , é um ponto espiral instável para , e é um ponto nó instável quando .

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