Seja uma constante real satisfazendo . Mostre que é sempre um ponto de equilíbrio instável do sistema linear
Para quais valores de o ponto é um ponto de sela? Para quais valores de o ponto é um ponto espiral instável? Para quais valores de o ponto é um ponto nó instável? (Os valores de para os quais as características do equilíbrio mudam são chamados de bifurcações.)
Passo 1
Vamos resolver um sistema linear de equações diferenciais para encontrar o ponto de equilíbrio e analisar sua estabilidade. Vamos usar conceitos de teoria de sistemas dinâmicos, como pontos de sela, espirais instáveis e nós instáveis. Precisaremos encontrar os autovalores da matriz do sistema para determinar o comportamento do ponto de equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
onde
Passo 3
Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante da matriz e igualamos a zero:
Isso resulta na equação característica:
Passo 4
Expandindo a equação característica:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática para lambda:
Simplificando o discriminante:
Passo 6
Agora, analisamos o discriminante Delta para determinar os tipos de pontos de equilíbrio:
Ponto de Sela: e as raízes são reais e de sinais opostos.
Espiral Instável: e as raízes são complexas com parte real positiva.
Nó Instável: e as raízes são reais e ambas positivas.
Passo 7
Determinar para quais valores de mu cada caso ocorre:
Sela:
Isso acontece quando ou
Espiral Instável:
Isso acontece quando
Nó Instável:
e ambas as raízes são positivas.
Isso ocorre quando
Resposta
O ponto (0,0) é um ponto de sela para ou , é um ponto espiral instável para , e é um ponto nó instável quando .