Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(d) sumn=1^infty(-1)^n-1 n(23)^n

Passo 1

Beleza, vamos analisar a série . Nosso objetivo aqui é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência que ajudam nessa análise.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos e ver se ela converge. A série dos valores absolutos fica assim:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 n(23)^n | = sumn=1^infty n(23)^n
Agora, precisamos verificar se essa nova série converge.

Passo 3

Para determinar a convergência da série L = limn to infty | an+1an | , podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries do tipo an+1an = (n+1)(23)^n+1n(23)^n = n+1n cdot 23 , onde limn to infty n+1n cdot 23 = limn to infty (1 + 1n) cdot 23 = 1 cdot 23 = 23 é uma constante.
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Onde . Vamos calcular:
Simplificando:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, não precisamos nos preocupar com o sinal alternado dos termos; ela já converge independentemente disso.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Usando o teste de Cauchy, verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
© sumn=1^infty(n+1n^2 2^n)^n
(a) log_a(216) = 3
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(g) sumn=1^infty(-1)^n-1 3^nn!