Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
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Passo 1
Beleza, vamos analisar a série . Nosso objetivo aqui é verificar se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e os testes de convergência que ajudam nessa análise.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos e ver se ela converge. A série dos valores absolutos fica assim:
Agora, precisamos verificar se essa nova série converge.
Passo 3
Para determinar a convergência da série L = limn to infty | an+1an | , podemos usar o Teste da Razão. Esse teste é útil para séries do tipo an+1an = (n+1)(23)^n+1n(23)^n = n+1n cdot 23 , onde limn to infty n+1n cdot 23 = limn to infty (1 + 1n) cdot 23 = 1 cdot 23 = 23 é uma constante.
O Teste da Razão nos diz para calcular o limite:
Onde . Vamos calcular:
Simplificando:
Como , pelo Teste da Razão, a série converge.
Passo 4
Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original é absolutamente convergente. Quando uma série é absolutamente convergente, não precisamos nos preocupar com o sinal alternado dos termos; ela já converge independentemente disso.