1. Seja V=P3(R) munido com o produto interno
lang<= f, grang<==integral-infty^infty f(t) g(t) e^-t^2 d t
Determine uma base ortonormal de V a partir da base
beta=1, x, x^2, x^3

Passo 1

Beleza, então a gente tem um espaço chamado , que é basicamente o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. O produto interno que estamos usando aqui é definido por uma integral que envolve . O que a gente precisa fazer é encontrar uma base ortonormal para esse espaço partindo da base . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores (no nosso caso, os polinômios) são ortogonais entre si e cada um tem norma 1. A “ortogonalidade” aqui é definida pelo produto interno que a gente tem, que envolve aquela integral com .

Passo 3

Vamos começar aplicando o processo de Gram-Schmidt na base . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal passo a passo.

Passo 4

Primeiro vetor ( |u1| = raizlang<= u1, u1 rang<= = raizintegral-infty^infty 1 cdot 1 cdot e^-t^2 dt = raizintegral-infty^infty e^-t^2 dt = raizraizpi = pi^1/4 ):
A gente começa com o primeiro vetor da base original, que é e1 = u1|u1| = 1pi^1/4 . Já que ainda não tem nada para ortogonalizar, esse será o nosso primeiro vetor ortogonal.
Então, .
Agora, para tornar esse vetor unitário (ou seja, com norma 1), vamos calcular a norma de :
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 5

Segundo vetor ( u2 = x - lang<= x, e1 rang<= e1 ):
Agora, vamos pegar o segundo vetor da base original, que é lang<= x, e1 rang<= = integral-infty^infty x cdot 1pi^1/4 e^-t^2 dt = 0 , e ortogonalizá-lo em relação a |u2| = raizlang<= u2, u2 rang<= = raizintegral-infty^infty x^2 e^-x^2 dx = raizraizpi2 = (pi4)^1/4 .
Primeiro, subtraímos a projeção de e2 = u2|u2| = x(pi4)^1/4 = 2^1/2 xpi^1/4 sobre :
Calculando a projeção:
Porque a função é ímpar e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Então, .
Agora, normalizando:
Então, o segundo vetor ortonormal é:

Passo 6

Terceiro vetor ( u3 = x^2 - lang<= x^2, e1 rang<= e1 - lang<= x^2, e2 rang<= e2 ):
Agora, vamos para lang<= x^2, e1 rang<= = integral-infty^infty x^2 cdot 1pi^1/4 e^-x^2 dx = 1pi^1/4 cdot raizpi2 = pi^1/42 . Primeiro, vamos ortogonalizar em relação a lang<= x^2, e2 rang<= = integral-infty^infty x^2 cdot 2^1/2 xpi^1/4 e^-x^2 dx = 0 e u3 = x^2 - pi^1/42 cdot 1pi^1/4 = x^2 - 12 :
|u3| = raizlang<= u3, u3 rang<= = raizintegral-infty^infty (x^2 - 12)^2 e^-x^2 dx = raiz14 = 12
Calculando as projeções:
e3 = u3|u3| = 2(x^2 - 12)
Porque é ímpar. Então,
Agora, normalizando:
Então, o terceiro vetor ortonormal é:

Passo 7

Quarto vetor ( u4 = x^3 - lang<= x^3, e1 rang<= e1 - lang<= x^3, e2 rang<= e2 - lang<= x^3, e3 rang<= e3 ):
Por fim, vamos lidar com lang<= x^3, e1 rang<= = 0 (função ímpar) . Ortogonalizamos em relação a lang<= x^3, e2 rang<= = integral-infty^infty x^3 cdot 2^1/2 xpi^1/4 e^-x^2 dx = 2^1/2pi^1/4 cdot 12 raizpi = raiz2 pi2 pi^1/4 = pi^1/4 raiz2/2 , lang<= x^3, e3 rang<= = integral-infty^infty x^3 cdot 2(x^2 - 12) e^-x^2 dx = 2 ( integral-infty^infty x^5 e^-x^2 dx - 12 integral-infty^infty x^3 e^-x^2 dx ) = 0 e u4 = x^3 - pi^1/4 raiz22 e2 :
|u4| = raizlang<= u4, u4 rang<= = raizintegral-infty^infty (x^3 - raiz22 x)^2 e^-x^2 dx = raiz34 = raiz32
Calculando as projeções:
e4 = u4|u4| = 2raiz3 (x^3 - raiz22 x) çãí
Então,
Agora, normalizando :
Então, o quarto vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal de 1pi^1/4, 2^1/2 xpi^1/4, 2(x^2 - 12), 2raiz3 (x^3 - raiz22 x) é:

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