1. Seja munido com o produto interno
Determine uma base ortonormal de a partir da base

Passo 1

Beleza, então a gente tem um espaço chamado , que é basicamente o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. O produto interno que estamos usando aqui é definido por uma integral que envolve . O que a gente precisa fazer é encontrar uma base ortonormal para esse espaço partindo da base . Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que ajuda a transformar uma base qualquer em uma base ortonormal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma base ortonormal. Uma base é ortonormal se todos os vetores (no nosso caso, os polinômios) são ortogonais entre si e cada um tem norma 1. A “ortogonalidade” aqui é definida pelo produto interno que a gente tem, que envolve aquela integral com .

Passo 3

Vamos começar aplicando o processo de Gram-Schmidt na base . O objetivo é transformar essa base em uma base ortonormal passo a passo.

Passo 4

Primeiro vetor ( ):
A gente começa com o primeiro vetor da base original, que é . Já que ainda não tem nada para ortogonalizar, esse será o nosso primeiro vetor ortogonal.
Então, .
Agora, para tornar esse vetor unitário (ou seja, com norma 1), vamos calcular a norma de :
Então, o primeiro vetor ortonormal é:

Passo 5

Segundo vetor ( ):
Agora, vamos pegar o segundo vetor da base original, que é , e ortogonalizá-lo em relação a .
Primeiro, subtraímos a projeção de sobre :
Calculando a projeção:
Porque a função é ímpar e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero. Então, .
Agora, normalizando:
Então, o segundo vetor ortonormal é:

Passo 6

Terceiro vetor ( ):
Agora, vamos para . Primeiro, vamos ortogonalizar em relação a e :
Calculando as projeções:
Porque é ímpar. Então,
Agora, normalizando:
Então, o terceiro vetor ortonormal é:

Passo 7

Quarto vetor ( ):
Por fim, vamos lidar com . Ortogonalizamos em relação a , e :
Calculando as projeções:
çãí
Então,
Agora, normalizando :
Então, o quarto vetor ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal de é:

Exercícios relacionados

Sejam e . Verifique se
é um produto interno sobre .
Sejam um espaço euclidiano e um operador linear
(a) Que condições deve satisfazer para que a função
seja um produto interno sobre
Seja com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de . Calcule .
X4. Seja munido com o produto interno
onde . Determine uma base ortonormal de a partir da base