Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule: f(t) = (2 cossec(t) - 1) / (cossec(t) + 2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a sua derivada. Para isso, vamos usar as regras de derivação para funções trigonométricas. Vamos precisar saber como derivar funções como a cosecante e utilizar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do quociente para derivadas. Se temos uma função , a derivada é dada por:
Aqui, e . Precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que a derivada de é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular . Seguindo a mesma regra:

Passo 5

Aplicando a regra do quociente, substituímos , , e na fórmula:

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Agrupando os termos semelhantes:
Simplificando mais:

Passo 7

Portanto, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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