Seja
um número real fixado. Use o PIF para provar que, para todo número natural
, temos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para um número real fixo
e todo número natural
, a soma da série geométrica
é igual a
. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática (PIM), que é uma técnica poderosa para provar afirmações que dependem de um número natural.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Princípio da Indução Matemática. Ele consiste em dois passos:
- Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente
. - Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo
e, com base nessa suposição, provar que ela é verdadeira para .
Passo 3
Base da indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para
.
A soma da série para
é apenas o primeiro termo:
Então, a base da indução está confirmada porque
.
Passo 4
Passo indutivo: Agora, vamos supor que a fórmula seja verdadeira para
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Queremos provar que a fórmula também vale para
. Vamos então considerar a soma para
:
Pela hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Distribuindo
no segundo termo do numerador:
E essa é exatamente a fórmula que queríamos para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, para todo número natural
:
Exercícios relacionados
Sejam
e
conjuntos arbitrários. Prove que
se, e somente se,
.
Sejam
e
.
Determine .
Determine
Use o PIF para provar que
para todo
natural. [Lembrete:
.]
Sejam
e
.
Determine .
Determine