Seja a <> 1 um número real fixado. Use o PIF para provar que, para todo número natural n ≥ 1, temos
1 + a + a^2 + ... + a^(n-1) = (a^n - 1) / (a - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, para um número real fixo e todo número natural , a soma da série geométrica é igual a . Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática (PIM), que é uma técnica poderosa para provar afirmações que dependem de um número natural.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Princípio da Indução Matemática. Ele consiste em dois passos:
  1. Base da indução: Mostrar que a afirmação é verdadeira para o primeiro caso, geralmente .
  2. Passo indutivo: Assumir que a afirmação é verdadeira para um certo e, com base nessa suposição, provar que ela é verdadeira para .

Passo 3

Base da indução: Vamos verificar se a fórmula funciona para .
A soma da série para é apenas o primeiro termo:
Então, a base da indução está confirmada porque .

Passo 4

Passo indutivo: Agora, vamos supor que a fórmula seja verdadeira para , ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Queremos provar que a fórmula também vale para . Vamos então considerar a soma para :
Pela hipótese de indução, substituímos a soma até :

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão:
Distribuindo no segundo termo do numerador:
E essa é exatamente a fórmula que queríamos para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo número natural :

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Sejam A e B conjuntos arbitrários. Prove que A ⊆ B se, e somente se, A ∩ B^c = ∅.
Sejam A = {3a + 7b : a, b em N} e B = {n em N : n^2 < 50}.
Determine A ∩ B.
Use o PIF para provar que
sumi=1^n(2 i-1)^3=n^2(2 n^2-1)
para todo n>0 natural. [Lembrete: (a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3.]
Sejam A = {3a + 7b : a, b em N} e B = {n em N : n^2 < 150}.
Determine B - A.