Sejam
e
conjuntos arbitrários. Prove que
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, para dois conjuntos quaisquer
e
,
se, e somente se, a interseção de
com o complemento de
é vazia, ou seja,
. Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos como subconjunto, interseção, complemento e conjunto vazio para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa
. Isso quer dizer que todo elemento de
também está em
. Em outras palavras, se
está em
, então
também está em
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é
. O complemento de
,
, é o conjunto de todos os elementos que não estão em
. Então,
representa os elementos que estão tanto em
quanto não estão em
.
Passo 4
Vamos provar a implicação direta: se
, então
.
Se
, então não existe nenhum elemento que está em
e não está em
. Logo, a interse�o
não tem elementos, ou seja, é o conjunto vazio
.
Passo 5
Agora, a implicação inversa: se
, então
.
Se a interseção é vazia, isso significa que não há nenhum elemento que está em
e
ao mesmo tempo. Portanto, todo elemento de
não pode estar fora de
, ou seja, todo elemento de
está em
. Assim,
.
Resposta
Concluímos que
se, e somente se,
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
.
Determine .
Determine
Sejam
e
. Assumindo que
seja o universo desta discussão, determine
.
Seja
um número real fixado. Use o PIF para provar que, para todo número natural
, temos
Use o PIF para provar que
para todo
natural. [Lembrete:
.]