Sejam A e B conjuntos arbitrários. Prove que A ⊆ B se, e somente se, A ∩ B^c = ∅.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, para dois conjuntos quaisquer e , se, e somente se, a interseção de com o complemento de é vazia, ou seja, . Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos como subconjunto, interseção, complemento e conjunto vazio para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também está em . Em outras palavras, se está em , então também está em .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . O complemento de , , é o conjunto de todos os elementos que não estão em . Então, representa os elementos que estão tanto em quanto não estão em .

Passo 4

Vamos provar a implicação direta: se , então .
Se , então não existe nenhum elemento que está em e não está em . Logo, a interseç��o não tem elementos, ou seja, é o conjunto vazio .

Passo 5

Agora, a implicação inversa: se , então .
Se a interseção é vazia, isso significa que não há nenhum elemento que está em e ao mesmo tempo. Portanto, todo elemento de não pode estar fora de , ou seja, todo elemento de está em . Assim, .

Resposta

Concluímos que se, e somente se, .

Exercícios relacionados

Sejam A = {3a + 7b : a, b em N} e B = {n em N : n^2 < 50}.
Determine A ∩ B.
Sejam A={-2,-1,1} e B = {x ∈ Z | x < -2 ∨ x ≥ 1}. Assumindo que Z seja o universo desta discussão, determine P(A ∩ B^c).
Seja a <> 1 um número real fixado. Use o PIF para provar que, para todo número natural n ≥ 1, temos
1 + a + a^2 + ... + a^(n-1) = (a^n - 1) / (a - 1)
Use o PIF para provar que
sumi=1^n(2 i-1)^3=n^2(2 n^2-1)
para todo n>0 natural. [Lembrete: (a-b)^3=a^3-3 a^2 b+3 a b^2-b^3.]