Sejam A e B conjuntos arbitrários. Prove que A ⊆ B se, e somente se, A ∩ B^c = ∅.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para provar que, para dois conjuntos quaisquer e , se, e somente se, a interseção de com o complemento de é vazia, ou seja, . Vamos usar conceitos de teoria dos conjuntos como subconjunto, interseção, complemento e conjunto vazio para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Isso quer dizer que todo elemento de também está em . Em outras palavras, se está em , então também está em .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é . O complemento de , , é o conjunto de todos os elementos que não estão em . Então, representa os elementos que estão tanto em quanto não estão em .

Passo 4

Vamos provar a implicação direta: se , então .
Se , então não existe nenhum elemento que está em e não está em . Logo, a interseç��o não tem elementos, ou seja, é o conjunto vazio .

Passo 5

Agora, a implicação inversa: se , então .
Se a interseção é vazia, isso significa que não há nenhum elemento que está em e ao mesmo tempo. Portanto, todo elemento de não pode estar fora de , ou seja, todo elemento de está em . Assim, .

Resposta

Concluímos que se, e somente se, .

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