Seja f: A R, onde A subseteq R^2 é um conjunto aberto. Definimos (quando os limites existirem) a derivada parcial de f no ponto (a, b) in A, em relação a x (respec. a y ), por
fx(a, b)=partial fpartial x(a, b):=lim h 0 f(a+h, b)-f(a, b)h fy(a, b)=partial fpartial y(a, b):=lim h 0 f(a, b+h)-f(a, b)h
A derivada parcial fx pode ser encontrada tratando-se y como constante e derivando f(x, y) como função de x. Análogo para fy. Se fx(a, b) existe para todo (a, b) em um aberto B subseteq A, temos a nova função fx: B R. Por exemplo, se f(x, y)=3 x^2 y^5+4 x+5 y, então fx(x, y)=6 x y^5+4, sendo ambas funções definidas em R^2. Analogamente, temos fy(x, y)=15 x^2 y^4+5 no mesmo domínio. As funções fx e fy são chamadas derivadas parciais de 1^a ordem de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre derivadas parciais de uma função , onde é um conjunto aberto em . A matéria que vamos estudar aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a função em relação a uma variável, tratando a outra como constante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que temos uma função de duas variáveis, . A derivada parcial em relação a , denotada por , é como se a gente derivasse considerando como uma constante. O mesmo vale para , que é a derivada em relação a , tratando como constante.

Passo 3

Vamos usar o exemplo dado no enunciado para deixar isso mais claro. A função é fx(x, y) = partial fpartial x = partialpartial x (3x^2y^5) + partialpartial x (4x) + partialpartial x (5y) .
Para encontrar fx(x, y) = 6xy^5 + 4 , tratamos como constante:
Como é constante, a derivada de em relação a é , a derivada de é , e a derivada de é (já que é constante em relação a ). Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar fy(x, y) = partial fpartial y = partialpartial y (3x^2y^5) + partialpartial y (4x) + partialpartial y (5y) , derivando em relação a fy(x, y) = 15x^2y^4 + 5 e tratando como constante:
Aqui, deriva para , deriva para (constante em relação a ), e deriva para . Então:

Resposta

As derivadas parciais da função fx(x, y) = 6xy^5 + 4 são:
fy(x, y) = 15x^2y^4 + 5

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