Seja
, onde
é um conjunto aberto. Definimos (quando os limites existirem) a derivada parcial de
no ponto
, em relação a
(respec. a
), por
A derivada parcial
pode ser encontrada tratando-se
como constante e derivando
como função de
. Análogo para
. Se
existe para todo
em um aberto
, temos a nova função
. Por exemplo, se
, então
, sendo ambas funções definidas em
. Analogamente, temos
no mesmo domínio. As funções
e
são chamadas derivadas parciais de
ordem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre derivadas parciais de uma função
, onde
é um conjunto aberto em
. A matéria que vamos estudar aqui é cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a função em relação a uma variável, tratando a outra como constante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Imagine que temos uma função de duas variáveis,
. A derivada parcial em relação a
, denotada por
, é como se a gente derivasse
considerando
como uma constante. O mesmo vale para
, que é a derivada em relação a
, tratando
como constante.
Passo 3
Vamos usar o exemplo dado no enunciado para deixar isso mais claro. A função é
.
Para encontrar
, tratamos
como constante:
Como
é constante, a derivada de
em relação a
é
, a derivada de
é
, e a derivada de
é
(já que é constante em relação a
). Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, derivando em relação a
e tratando
como constante:
Aqui,
deriva para
,
deriva para
(constante em relação a
), e
deriva para
. Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Seja
.
b) Determine o domínio de .
b) Determine o domínio de
Um empréstimo de RS
deve ser financiado em sest phes tações trimestrais a uma taxa de juros de
ao trimestre. Elaborar uma planilha de pagamentos para o referido financiamento com base no sistemas de amortização:
(a) Sistema de Amortização Constante;
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(b) Tabela Price;
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