Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais: integral 2-3 sen(2 x)cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é integração, mais especificamente o método da substituição de variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para facilitar. Olhando para o denominador, temos , então vamos tentar usar isso como nossa substituição.

Passo 3

Vamos definir du = -2 sen(2x) dx . Agora, precisamos encontrar sen(2x) dx = -12 du . A derivada de em relação a é , então:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral 2 - 3 sen(2x)cos(2x) dx = integral 2cos(2x) dx - 3 integral sen(2x)cos(2x) dx . A integral original é:
Usando = 2 integral 1u dx - 3 (-12) integral 1u du e , temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral = 2 integral 1u cdot du-2 sen(2x) - 3 (-12) ln|u| + C é = - ln|u| + 32 ln|u| + C = -ln|cos(2x)| + 32 ln|cos(2x)| + C . Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 6

Finalmente, combinando os termos:
= (-1 + 32) ln|cos(2x)| + C = 12 ln|cos(2x)| + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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