Seja T um operador linear em R^2 cuja representação matricial na base canônica seja [cc41 & 7 -20 & 74].
Escreva o operador T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear 41 & 7 -20 & 74 que age em um espaço bidimensional, ou seja, em . A gente sabe como esse operador se comporta através de uma matriz na base canônica, que é . Nosso objetivo é descobrir como esse operador funciona para qualquer ponto no plano. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Basicamente, um operador linear transforma vetores de um espaço vetorial em outros vetores do mesmo espaço, respeitando duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Quando representamos por uma matriz , a ação de sobre um vetor é feita multiplicando essa matriz pelo vetor.

Passo 3

Agora, vamos ao passo prático. A matriz que representa o operador A = 41 & 7 -20 & 74 é:
x y
E queremos aplicar essa matriz ao vetor A x y = 41 cdot x + 7 cdot y -20 cdot x + 74 cdot y . A multiplicação de uma matriz por um vetor é feita da seguinte forma:

Passo 4

Então, calculando cada componente:
  • Primeira coordenada:
    41x + 7y
  • Segunda coordenada:
    -20x + 74y

Resposta

T(x, y) = (41x + 7y, -20x + 74y)

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