Seja
um operador linear em
cuja representação matricial na base canônica seja
.
Escreva o operador
.
Escreva o operador
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear
que age em um espaço bidimensional, ou seja, em
. A gente sabe como esse operador se comporta através de uma matriz na base canônica, que é
. Nosso objetivo é descobrir como esse operador funciona para qualquer ponto
no plano. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um operador linear. Basicamente, um operador linear
transforma vetores de um espaço vetorial em outros vetores do mesmo espaço, respeitando duas propriedades: aditividade e homogeneidade. Quando representamos
por uma matriz
, a ação de
sobre um vetor
é feita multiplicando essa matriz pelo vetor.
Passo 3
Agora, vamos ao passo prático. A matriz que representa o operador
é:
E queremos aplicar essa matriz ao vetor
. A multiplicação de uma matriz
por um vetor
é feita da seguinte forma:
Passo 4
Então, calculando cada componente:
-
Primeira coordenada:
-
Segunda coordenada: