Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares e .
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui. O enunciado nos apresenta uma transformação linear representada por uma matriz . Nosso objetivo é:
Calcular os espaços imagem de e de .
Encontrar uma base para cada um desses espaços imagem.
Determinar as dimensões desses espaços.
Verificar se a transformação tem inversa pela esquerda.
Verificar se a transformação tem inversa pela direita.
Para resolver esses itens, vamos precisar entender conceitos como espaço imagem (ou coluna espaço), composição de transformações lineares, bases, dimensões e condições para existência de inversas de transformações lineares. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o espaço imagem da transformação . O espaço imagem de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas, ou seja, é o espaço gerado pelas colunas da matriz.
Dada a matriz:
Para encontrar o espaço imagem, vamos verificar a independência linear das colunas. Se algumas colunas forem combinações lineares das outras, elas não contribuem para aumentar a dimensão do espaço imagem.
Vamos observar que a segunda coluna é vezes a primeira coluna:
que é a segunda coluna .
Portanto, a segunda coluna não adiciona nada novo ao espaço imagem. Agora, verificamos a terceira coluna:
que é a terceira coluna .
Assim, a terceira coluna também é uma combinação linear da primeira coluna. Portanto, todas as colunas de estão no mesmo espaço gerado pela primeira coluna.
Passo 3
Agora, vamos calcular o espaço imagem da transformação composta , que na prática é a matriz multiplicada por ela mesma, ou seja, .
Vamos calcular :
Calculando as multiplicações:
Primeira linha de :
Primeiro elemento:
Segundo elemento:
Terceiro elemento:
Segunda linha de será múltiplo da primeira linha (já que as linhas de são múltiplos), então todos os elementos serão zero.
Terceira linha de também será múltiplo da primeira linha, resultando em zeros.
Então,
Isso significa que o espaço imagem de é apenas o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para cada um dos espaços imagem que calculamos.
Para o espaço imagem de , vimos que todas as colunas são múltiplos da primeira coluna . Portanto, uma base para Im é apenas esse vetor:
Já para o espaço imagem de , que resultou na matriz nula, a única imagem possível é o vetor zero. Portanto, o espaço imagem é , e uma base para esse espaço é o conjunto vazio ou simplesmente o vetor zero, que não adiciona dimensão.
Passo 5
Agora, vamos calcular as dimensões dos espaços imagem que encontramos.
A dimensão do espaço imagem é igual ao número de vetores na base desse espaço, ou seja, o seu “tamanho”.
Para Im, temos uma única vetor na base:
Para Im, que é apenas o vetor zero, a dimensão é zero:
Passo 6
Agora, vamos verificar se a transformação linear tem inversa pela esquerda.
Uma transformação linear tem uma inversa pela esquerda se sua matriz tem posto completo, ou seja, se o espaço imagem tem dimensão igual ao domínio, que é 3.
No nosso caso, vimos que , que é menor que 3. Portanto, não tem inversa pela esquerda.
Passo 7
Por fim, vamos verificar se a transformação linear tem inversa pela direita.
Uma transformação linear tem uma inversa pela direita se seu espaço imagem coincide com o espaço alvo, ou seja, se .
Como vimos que e o espaço alvo é (dimensão 3), não satisfaz essa condição. Portanto, não tem inversa pela direita.
Resposta
Espaço imagem de : É o conjunto de todos os múltiplos do vetor . Espaço imagem de : É o conjunto que contém apenas o vetor zero.
Base para Im: . Base para Im: .
Dimensão de Im: 1. Dimensão de Im: 0.
Transformação não tem inversa pela esquerda: Porque o espaço imagem de tem dimensão 1, menor que a dimensão do domínio (3).
Transformação não tem inversa pela direita: Porque o espaço imagem de não coincide com todo o espaço alvo .