1. Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares e .
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui. O enunciado nos apresenta uma transformação linear representada por uma matriz . Nosso objetivo é:
  1. Calcular os espaços imagem de e de .
  2. Encontrar uma base para cada um desses espaços imagem.
  3. Determinar as dimensões desses espaços.
  4. Verificar se a transformação tem inversa pela esquerda.
  5. Verificar se a transformação tem inversa pela direita.
Para resolver esses itens, vamos precisar entender conceitos como espaço imagem (ou coluna espaço), composição de transformações lineares, bases, dimensões e condições para existência de inversas de transformações lineares. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o espaço imagem da transformação . O espaço imagem de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas, ou seja, é o espaço gerado pelas colunas da matriz.
Dada a matriz:
Para encontrar o espaço imagem, vamos verificar a independência linear das colunas. Se algumas colunas forem combinações lineares das outras, elas não contribuem para aumentar a dimensão do espaço imagem.
Vamos observar que a segunda coluna é vezes a primeira coluna:
que é a segunda coluna .
Portanto, a segunda coluna não adiciona nada novo ao espaço imagem. Agora, verificamos a terceira coluna:
que é a terceira coluna .
Assim, a terceira coluna também é uma combinação linear da primeira coluna. Portanto, todas as colunas de estão no mesmo espaço gerado pela primeira coluna.

Passo 3

Agora, vamos calcular o espaço imagem da transformação composta , que na prática é a matriz multiplicada por ela mesma, ou seja, .
Vamos calcular :
Calculando as multiplicações:
  • Primeira linha de :
    • Primeiro elemento:
    • Segundo elemento:
    • Terceiro elemento:
  • Segunda linha de será múltiplo da primeira linha (já que as linhas de são múltiplos), então todos os elementos serão zero.
  • Terceira linha de também será múltiplo da primeira linha, resultando em zeros.
Então,
Isso significa que o espaço imagem de é apenas o vetor zero.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma base para cada um dos espaços imagem que calculamos.
Para o espaço imagem de , vimos que todas as colunas são múltiplos da primeira coluna . Portanto, uma base para Im é apenas esse vetor:
Já para o espaço imagem de , que resultou na matriz nula, a única imagem possível é o vetor zero. Portanto, o espaço imagem é , e uma base para esse espaço é o conjunto vazio ou simplesmente o vetor zero, que não adiciona dimensão.

Passo 5

Agora, vamos calcular as dimensões dos espaços imagem que encontramos.
A dimensão do espaço imagem é igual ao número de vetores na base desse espaço, ou seja, o seu “tamanho”.
Para Im , temos uma única vetor na base:
Para Im , que é apenas o vetor zero, a dimensão é zero:

Passo 6

Agora, vamos verificar se a transformação linear tem inversa pela esquerda.
Uma transformação linear tem uma inversa pela esquerda se sua matriz tem posto completo, ou seja, se o espaço imagem tem dimensão igual ao domínio, que é 3.
No nosso caso, vimos que , que é menor que 3. Portanto, não tem inversa pela esquerda.

Passo 7

Por fim, vamos verificar se a transformação linear tem inversa pela direita.
Uma transformação linear tem uma inversa pela direita se seu espaço imagem coincide com o espaço alvo, ou seja, se .
Como vimos que e o espaço alvo é (dimensão 3), não satisfaz essa condição. Portanto, não tem inversa pela direita.

Resposta

  1. Espaço imagem de : É o conjunto de todos os múltiplos do vetor .
    Espaço imagem de : É o conjunto que contém apenas o vetor zero.
  2. Base para Im : .
    Base para Im : .
  3. Dimensão de Im : 1.
    Dimensão de Im : 0.
  4. Transformação não tem inversa pela esquerda: Porque o espaço imagem de tem dimensão 1, menor que a dimensão do domínio (3).
  5. Transformação não tem inversa pela direita: Porque o espaço imagem de não coincide com todo o espaço alvo .

Exercícios relacionados

Sejam um espaço vetorial real. Seja um operador linear em , induzido pela matriz
Pede-se
(a) duas bases diferentes para ;
(b) o espaço imagem de ;
© as matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a) acima;
(d) caso tenha inversa em , sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas;
Sejam e espaços vetoriais reais. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se
(a) uma base para ;
(b) uma base para ;
© o espaço imagem de ;
(d) caso tenha inversa pela esquerda, forneça tal que ;
(e) caso tenha inversa pela direita, forneça tal que .
Sejam quatro transformações lineares , , induzidas por matrizes . Repare que é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que e .
Mostre que
e que se , então
Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .