Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares A e (A circ A).
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos fazer aqui. O enunciado nos apresenta uma transformação linear A: R^3 R^3 representada por uma matriz 3 times 3. Nosso objetivo é:
Calcular os espaços imagem de A e de A circ A.
Encontrar uma base para cada um desses espaços imagem.
Determinar as dimensões desses espaços.
Verificar se a transformação A tem inversa pela esquerda.
Verificar se a transformação A tem inversa pela direita.
Para resolver esses itens, vamos precisar entender conceitos como espaço imagem (ou coluna espaço), composição de transformações lineares, bases, dimensões e condições para existência de inversas de transformações lineares. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o espaço imagem da transformação A. O espaço imagem de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas colunas, ou seja, é o espaço gerado pelas colunas da matriz.
Dada a matriz:
A = 5 & -3 & 2 15 & -9 & 6 10 & -6 & 4
Para encontrar o espaço imagem, vamos verificar a independência linear das colunas. Se algumas colunas forem combinações lineares das outras, elas não contribuem para aumentar a dimensão do espaço imagem.
Vamos observar que a segunda coluna é -3/5 vezes a primeira coluna:
-3/5 times 5 15 10 = -3 -9 -6
que é a segunda coluna ( -3, -9, -6 )^T.
Portanto, a segunda coluna não adiciona nada novo ao espaço imagem. Agora, verificamos a terceira coluna:
2/5 times 5 15 10 = 2 6 4
que é a terceira coluna (2, 6, 4)^T.
Assim, a terceira coluna também é uma combinação linear da primeira coluna. Portanto, todas as colunas de A estão no mesmo espaço gerado pela primeira coluna.
Passo 3
Agora, vamos calcular o espaço imagem da transformação composta A circ A, que na prática é a matriz A multiplicada por ela mesma, ou seja, A^2.
Vamos calcular A^2:
A^2 = A times A = 5 & -3 & 2 15 & -9 & 6 10 & -6 & 4 times 5 & -3 & 2 15 & -9 & 6 10 & -6 & 4
Segunda linha de A^2 será múltiplo da primeira linha (já que as linhas de A são múltiplos), então todos os elementos serão zero.
Terceira linha de A^2 também será múltiplo da primeira linha, resultando em zeros.
Então,
A^2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Isso significa que o espaço imagem de A^2 é apenas o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para cada um dos espaços imagem que calculamos.
Para o espaço imagem de A, vimos que todas as colunas são múltiplos da primeira coluna (5, 15, 10)^T. Portanto, uma base para Im(A) é apenas esse vetor:
Base de Im(A) = 5 15 10
Já para o espaço imagem de A circ A, que resultou na matriz nula, a única imagem possível é o vetor zero. Portanto, o espaço imagem é 0 , e uma base para esse espaço é o conjunto vazio ou simplesmente o vetor zero, que não adiciona dimensão.
Passo 5
Agora, vamos calcular as dimensões dos espaços imagem que encontramos.
A dimensão do espaço imagem é igual ao número de vetores na base desse espaço, ou seja, o seu “tamanho”.
Para Im(A), temos uma única vetor na base:
dim(Im(A)) = 1
Para Im(A circ A), que é apenas o vetor zero, a dimensão é zero:
dim(Im(A circ A)) = 0
Passo 6
Agora, vamos verificar se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
Uma transformação linear A: R^3 R^3 tem uma inversa pela esquerda se sua matriz tem posto completo, ou seja, se o espaço imagem tem dimensão igual ao domínio, que é 3.
No nosso caso, vimos que dim(Im(A)) = 1, que é menor que 3. Portanto, A não tem inversa pela esquerda.
Passo 7
Por fim, vamos verificar se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Uma transformação linear A: R^3 R^3 tem uma inversa pela direita se seu espaço imagem coincide com o espaço alvo, ou seja, se Im(A) = R^3.
Como vimos que dim(Im(A)) = 1 e o espaço alvo é R^3 (dimensão 3), A não satisfaz essa condição. Portanto, A não tem inversa pela direita.
Resposta
Espaço imagem de A: É o conjunto de todos os múltiplos do vetor 5 15 10 . Espaço imagem de A circ A: É o conjunto que contém apenas o vetor zero.
Base para Im(A): 5 15 10 . Base para Im(A circ A): 0 .
Dimensão de Im(A): 1. Dimensão de Im(A circ A): 0.
Transformação A não tem inversa pela esquerda: Porque o espaço imagem de A tem dimensão 1, menor que a dimensão do domínio (3).
Transformação A não tem inversa pela direita: Porque o espaço imagem de A não coincide com todo o espaço alvo R^3.