Seja o operador linear

Quais dos seguintes vetores pertencem a ?
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear definido por . A questão quer saber quais dos vetores a), b) e c) pertencem ao núcleo de , ou seja, . Para resolver isso, precisamos verificar quais desses vetores, quando aplicados em , resultam no vetor zero .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que, quando transformados por , dão o vetor zero. Matematicamente, isso significa encontrar tal que:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os vetores no núcleo.

Passo 3

Agora, vamos verificar cada vetor dado para ver se pertence a .
a)
Como , o vetor pertence a .
b)
Aqui, , então não está no núcleo de .
c)
Como , o vetor também pertence a .

Resposta

Os vetores a) e c) pertencem ao núcleo de , ou seja, .

Exercícios relacionados

Sejam e subespaços vetoriais de gerados por e respectivamente.
Determine e .
(a) As aeronaves às vezes adquirem pequenas cargas estáticas. Suponha que um jato supersônico tenha uma carga de e voe para oeste a uma velocidade de sobre o polo sul magnético da Terra, onde o campo magnético de aponta diretamente para o solo. Quais são a direção e o módulo da força magnética sobre o plano? (b) Discuta se o valor obtido na parte (a) implica que este é um efeito significativo ou desprezível.
Dentre as transformações definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares:
Seja tal que

sendo e bases do e do , respectivamente.
Determinar e uma base para esse subespaço.