Seja o operador linear
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(2 x+y, 4 x+2 y)
Quais dos seguintes vetores pertencem a N(T) ?
a) (1,-2)
b) (2,-3)
c) (-3,6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear definido por . A questão quer saber quais dos vetores a), b) e c) pertencem ao núcleo de , ou seja, . Para resolver isso, precisamos verificar quais desses vetores, quando aplicados em , resultam no vetor zero .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo T(x, y) = (2x + y, 4x + 2y) = (0, 0) é o conjunto de todos os vetores em que, quando transformados por , dão o vetor zero. Matematicamente, isso significa encontrar tal que:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os vetores no núcleo.

Passo 3

Agora, vamos verificar cada vetor dado para ver se pertence a T(1, -2) = (2(1) + (-2), 4(1) + 2(-2)) = (2 - 2, 4 - 4) = (0, 0) .
a) T(2, -3) = (2(2) + (-3), 4(2) + 2(-3)) = (4 - 3, 8 - 6) = (1, 2)
T(-3, 6) = (2(-3) + 6, 4(-3) + 2(6)) = (-6 + 6, -12 + 12) = (0, 0)
Como , o vetor pertence a .
b)
Aqui, , então não está no núcleo de .
c)
Como , o vetor também pertence a .

Resposta

Os vetores a) e c) pertencem ao núcleo de , ou seja, .

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