Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam. V=R^3, (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3) e alpha(x1, x2, x3)=(alpha x1, alpha x2, alpha x3).

Passo 1

O exercício pede para verificar se o conjunto (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3) , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
alpha(x1, x2, x3) = (alpha x1, alpha x2, alpha x3)
é um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se cada um deles é satisfeito por .

Passo 2

Primeiro, vamos listar os axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores em também está em .
  2. Comutatividade da adição: para quaisquer vetores .
  3. Associatividade da adição: para quaisquer vetores .
  4. Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que para todo .
  5. Existência do inverso aditivo: Para todo vetor , existe um vetor tal que .
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor em por um escalar resulta em um vetor que também está em .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: para todo escalar e vetores .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: para quaisquer escalares e vetor .
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: para quaisquer escalares e vetor .
  10. Multiplicação por 1: para todo vetor .

Passo 3

Vamos verificar cada axioma para u + v = v + u :
  1. Fechamento da adição: Somando dois vetores em (u + v) + w = u + (v + w) , obtemos outro vetor em u + 0 = u forall u in R^3 . Por exemplo, u + (-u) = 0 , que ainda está em alpha(u + v) = alphau + alphav .
  2. Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores (alpha + beta)u = alphau + betau ,
alpha(betau) = (alphabeta)u
Por exemplo, 1u = u .
  1. Associatividade da adição: Para quaisquer vetores ,
Por exemplo, e .
  1. Existência do elemento neutro: O vetor serve como elemento neutro, pois
Por exemplo, .
  1. Existência do inverso aditivo: Para cada vetor , existe tal que
Por exemplo, .
  1. Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor em por um escalar , o resultado ainda está em .
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Por exemplo, e .
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Por exemplo, e .
  1. Associatividade da multiplicação por escalar:
Por exemplo, e .
  1. Multiplicação por 1:
Por exemplo, .

Resposta

Sim, o conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.

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