Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
e
.
Passo 1
O exercício pede para verificar se o conjunto
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas por
é um espaço vetorial. Para isso, vamos lembrar dos axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se cada um deles é satisfeito por
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os axiomas de um espaço vetorial que precisamos verificar:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores em
também está em . - Comutatividade da adição:
para quaisquer vetores . - Associatividade da adição:
para quaisquer vetores . - Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero
tal que para todo . - Existência do inverso aditivo: Para todo vetor
, existe um vetor tal que . - Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor em
por um escalar resulta em um vetor que também está em . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
para todo escalar e vetores . - Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
para quaisquer escalares e vetor . - Associatividade da multiplicação por escalar:
para quaisquer escalares e vetor . - Multiplicação por 1:
para todo vetor .
Passo 3
Vamos verificar cada axioma para
:
-
Fechamento da adição: Somando dois vetores em
, obtemos outro vetor em . Por exemplo, , que ainda está em . -
Comutatividade da adição: Para quaisquer vetores
,
Por exemplo,
.
- Associatividade da adição: Para quaisquer vetores
,
Por exemplo,
e
.
- Existência do elemento neutro: O vetor
serve como elemento neutro, pois
Por exemplo,
.
- Existência do inverso aditivo: Para cada vetor
, existe tal que
Por exemplo,
.
-
Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor em
por um escalar , o resultado ainda está em . -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Por exemplo,
e
.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Por exemplo,
e
.
- Associatividade da multiplicação por escalar:
Por exemplo,
e
.
- Multiplicação por 1:
Por exemplo,
.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.