Seja
uma função de produção. Represente os pares
para os quais
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de produção
que relaciona os insumos de capital
e trabalho
para produzir uma certa quantidade de produto
. O exercício solicita que representemos todos os pares
que resultam em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações com potências fracionárias e isolar uma das variáveis em termos da outra.
Passo 2
Começamos substituindo
na função de produção:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre
e
, então vamos isolar uma das variáveis. Vamos primeiro dividir ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Passo 3
Agora, para eliminar os expoentes fracionários, vamos elevar ambos os lados da equação à potência de 4, que é o denominador do expoente de
:
Calculando o lado esquerdo:
Passo 4
Agora, temos uma relação direta entre
e
:
Podemos resolver para
em termos de
:
Isso significa que para qualquer valor de
, podemos encontrar o valor correspondente de
que satisfaz a condição
.
Resposta
Os pares
que satisfazem
são dados por:
Para qualquer valor positivo de
,
pode ser calculado usando essa relação.