Seja uma função de produção. Represente os pares para os quais .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de produção que relaciona os insumos de capital e trabalho para produzir uma certa quantidade de produto . O exercício solicita que representemos todos os pares que resultam em . Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular equações com potências fracionárias e isolar uma das variáveis em termos da outra.

Passo 2

Começamos substituindo na função de produção:
Nosso objetivo é encontrar uma relação entre e , então vamos isolar uma das variáveis. Vamos primeiro dividir ambos os lados da equação por 2 para simplificar:

Passo 3

Agora, para eliminar os expoentes fracionários, vamos elevar ambos os lados da equação à potência de 4, que é o denominador do expoente de :
Calculando o lado esquerdo:

Passo 4

Agora, temos uma relação direta entre e :
Podemos resolver para em termos de :
Isso significa que para qualquer valor de , podemos encontrar o valor correspondente de que satisfaz a condição .

Resposta

Os pares que satisfazem são dados por:
Para qualquer valor positivo de , pode ser calculado usando essa relação.

Exercícios relacionados

Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(a) . É possível que ? Justifique.
Determine o valor lógico das seguintes proposições, justificando sua resposta: © e ou .
Verifique se as funções são contínuas:
(a) , no ponto
Construa a tabela-verdade de cada uma das sentenças (b) .