Seja um número primo. Verifique que é um número irracional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta para a gente provar que a raiz quadrada de um número primo é irracional. Isso está ligado ao estudo de números racionais e irracionais na matemática, especialmente em teoria dos números. Para resolver, vamos precisar entender o que é número irracional e usar o famoso método de prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e é diferente de zero. Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que é racional. Ou seja, existe uma fração em sua forma mais simples (sem fatores comuns entre e ) tal que:

Passo 3

Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso significa que divide .

Passo 4

Como é primo e divide , pelo princípio fundamental da aritmética, também divide . Ou seja, existe algum inteiro tal que .

Passo 5

Substituindo na equação , temos:
Dividindo ambos os lados por , ficamos com:
Isso mostra que divide , e novamente, como é primo, divide .

Passo 6

Agora, chegamos a que divide tanto quanto . Mas isso significa que a fração não estava na forma mais simples, o que contraria nossa suposição inicial de que era irreduzível.

Resposta

Portanto, chegamos a uma contradição, o que prova que nossa suposição estava errada. Assim, é um número irracional.

Exercícios relacionados

Sejam e . Calcule:
Resolva as seguintes inequações.
Divida o polinômio pelo polinômio nos seguintes casos. e
Divida o polinômio pelo polinômio nos seguintes casos. e