Seja
um número primo. Verifique que
é um número irracional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pergunta para a gente provar que a raiz quadrada de um número primo
é irracional. Isso está ligado ao estudo de números racionais e irracionais na matemática, especialmente em teoria dos números. Para resolver, vamos precisar entender o que é número irracional e usar o famoso método de prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
é diferente de zero. Agora, vamos supor, para chegar a uma contradição, que
é racional. Ou seja, existe uma fração
em sua forma mais simples (sem fatores comuns entre
e
) tal que:
Passo 3
Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso significa que
divide
.
Passo 4
Como
é primo e divide
, pelo princípio fundamental da aritmética,
também divide
. Ou seja, existe algum inteiro
tal que
.
Passo 5
Substituindo
na equação
, temos:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Isso mostra que
divide
, e novamente, como
é primo,
divide
.
Passo 6
Agora, chegamos a que
divide tanto
quanto
. Mas isso significa que a fração
não estava na forma mais simples, o que contraria nossa suposição inicial de que
era irreduzível.
Resposta
Portanto, chegamos a uma contradição, o que prova que nossa suposição estava errada. Assim,
é um número irracional.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Calcule:
Resolva as seguintes inequações.
Divida o polinômio
pelo polinômio
nos seguintes casos.
e
Divida o polinômio
pelo polinômio
nos seguintes casos.
e