Seja P: R^3 R^3 a transformação linear de projeção de um vetor no plano Pi: x+y+z=0.
(a) Determine uma base ordenada beta de R^3, tal que:
[P]beta=(lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 )
(b) Determine P(x, y, z).
© P é injetora ? Sobrejetora ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear de projeção que projeta vetores no plano definido por . A matéria envolvida aqui é Transformação Linear e Matrizes Associadas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como uma transformação linear funciona, como encontrar bases ordenadas e como representar a transformação por uma matriz em relação a uma base específica.

Passo 2

Item (a): Determinar uma base ordenada [P]beta= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 de beta = v1, v2, v3 = (1, -1, 0), (1, 0, -1), (1, 1, 1) tal que:
Primeiro, precisamos escolher uma base onde a matriz da transformação fica nessa forma diagonal com zeros. Isso geralmente acontece quando as primeiras duas bases estão no espaço que está sendo preservado pela transformação (no caso, o plano ) e a terceira base está no núcleo da transformação (ou seja, mapeada para zero).
  1. Encontrar vetores no plano :
    O plano é dado por . Vamos escolher dois vetores que satisfaçam essa equação.
    • Por exemplo, se e , então . Então, .
    • Outro exemplo: se e , então . Então, .
  2. Encontrar um vetor no núcleo de :
    O núcleo de é o conjunto de vetores que são mapeados para zero, ou seja, que já estão no plano . Mas como é uma projeção no plano , o núcleo é o complemento normal de .
    • O vetor normal ao plano é .
    • Então, .
  3. Formar a base :
Com essa base, a matriz da transformação fica na forma dada.

Passo 3

Item (b): Determinar P(v) = v - v cdot nn cdot n n .
A transformação P(x, y, z) = (x, y, z) - x + y + z3 (1, 1, 1) é a projeção de um vetor P(x, y, z) = ( x - x + y + z3, y - x + y + z3, z - x + y + z3 ) no plano P(x, y, z) = ( 2x - y - z3, 2y - x - z3, 2z - x - y3 ) . Para encontrar , seguimos estes passos:
  1. Encontrar a projeção de no plano .
  2. Equação para a projeção:
    A projeção de um vetor no plano pode ser dada por:
    onde é o vetor normal ao plano.
  3. Aplicando isso ao vetor :
    • Produto escalar
    • Produto escalar
    Então,
  4. Simplificando:

Passo 4

Item ©: é injetora? Sobrejetora? Justifique.
Vamos analisar as propriedades de injetividade e sobrejetividade da transformação .
  1. Injetora:
    • Uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero.
    • O núcleo de são todos os vetores que são mapeados para zero, ou seja, .
    • Como o núcleo não é apenas o vetor zero, não é injetora.
  2. Sobrejetora:
    • Uma transforma��ão linear é sobrejetora se sua imagem é todo o espaço de chegada.
    • A imagem de é o plano , que é um subespaço de .
    • Como a imagem não cobre todo o , não é sobrejetora.

Resposta

(a) Uma base ordenada P(x, y, z) = ( 2x - y - z3, 2y - x - z3, 2z - x - y3 ) de é .
(b) A transformação aplicada a é:
© A transformação não é injetora nem sobrejetora.

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