Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear de projeção que projeta vetores no plano definido por . A matéria envolvida aqui é Transformação Linear e Matrizes Associadas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como uma transformação linear funciona, como encontrar bases ordenadas e como representar a transformação por uma matriz em relação a uma base específica.
Passo 2
Item (a): Determinar uma base ordenada [P]beta= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 de beta = v1, v2, v3 = (1, -1, 0), (1, 0, -1), (1, 1, 1) tal que:
Primeiro, precisamos escolher uma base onde a matriz da transformação fica nessa forma diagonal com zeros. Isso geralmente acontece quando as primeiras duas bases estão no espaço que está sendo preservado pela transformação (no caso, o plano ) e a terceira base está no núcleo da transformação (ou seja, mapeada para zero).
Encontrar vetores no plano :
O plano é dado por . Vamos escolher dois vetores que satisfaçam essa equação.
Por exemplo, se e , então . Então, .
Outro exemplo: se e , então . Então, .
Encontrar um vetor no núcleo de :
O núcleo de é o conjunto de vetores que são mapeados para zero, ou seja, que já estão no plano . Mas como é uma projeção no plano , o núcleo é o complemento normal de .
O vetor normal ao plano é .
Então, .
Formar a base :
Com essa base, a matriz da transformação fica na forma dada.
Passo 3
Item (b): Determinar P(v) = v - v cdot nn cdot n n .
A transformação P(x, y, z) = (x, y, z) - x + y + z3 (1, 1, 1) é a projeção de um vetor P(x, y, z) = ( x - x + y + z3, y - x + y + z3, z - x + y + z3 ) no plano P(x, y, z) = ( 2x - y - z3, 2y - x - z3, 2z - x - y3 ) . Para encontrar , seguimos estes passos:
Encontrar a projeção de no plano .
Equação para a projeção:
A projeção de um vetor no plano pode ser dada por: